作者fmtshk (fmtshk)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] 線代_關於函數空間
時間Fri Oct 11 12:18:04 2019
對函數理解極爛，想請問關於子空間的觀念
如果是歐式空間，1.找0向量 2.取u,v∈V，α∈f，乘加一下看有無封閉，還有v∈V則-v∈V
函數空間的話就照著它給的函數規則用上面的方法帶入對嗎？
https://i.imgur.com/UOkEa4x.jpg
像是(2)(3)這種，只知道W2是f(0)=f(1),W3是f(-1)=0，那其他數字丟進去會變什麼？
這樣就足夠知道是不是子空間了嗎？
求高端教我一下證明應該怎麼寫:)
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1F：推 mi981027: 子集合就是三件事 1.包含 2.有零向量 3.封閉性 10/11 12:47
2F：→ mi981027: 這裡不要把函數看成函數 應該看成一個向量 10/11 12:47
3F：→ mi981027: 2收集所以把0帶進去等於把1帶進去的函數 10/11 12:47
4F：→ mi981027: 那0函數不論帶0還是1，都是0，所以0函數屬於2的集合 10/11 12:47
5F：→ mi981027: 3收集所有帶-1進去等於0的函數 10/11 12:47
6F：→ mi981027: 所以0函數帶-1等於0，成立 10/11 12:47
7F：→ mi981027: 封閉性的話可以令f,g屬於W, 以2為例的話就可以得到兩個 10/11 12:47
8F：→ mi981027: 等式 10/11 12:47
9F：→ mi981027: f(0)=f(1), g(0)=g(1) 10/11 12:47
10F：→ mi981027: 我們現在要證明的是h = c*f+g依然屬於w，也就是h(0)=h(1 10/11 12:47
11F：→ mi981027: ) 10/11 12:47
12F：→ mi981027: 那c*f(0)+g(0) = c*f(1)+g(1)顯而易見 10/11 12:47
13F：→ mi981027: 所以2是子空間 至於3的話也差不多 這種證子空間的方法 10/11 12:47
14F：→ mi981027: 都大同小異 結論就是一定要把函數想成一個向量就不會搞 10/11 12:47
15F：→ mi981027: 錯 10/11 12:47
16F：→ fmtshk: 瞭解，感謝大佬解說 10/11 13:04
17F：→ fmtshk: 我理解好像還是不夠，想在 10/11 21:04
18F：→ fmtshk: 再問一下(1)的W1怎麼證它不是？ 10/11 21:04
20F：→ Ricestone: 證不是就舉反例，隨便拿個f(x)=x就可以了 10/11 21:28
21F：→ fmtshk: f(x)=x算是包含在W1的函數嗎？ 10/11 22:59
22F：→ Ricestone: f(x^2)=(x)^2 10/11 23:10
23F：→ fmtshk: 好的，我試試看 10/12 00:30
24F：推 mi981027: 其實你快寫完了 我用你的思路幫你補上 10/12 02:24
25F：→ mi981027: 不過你證0函數屬於w1那邊還是有點小問題 當他題目這樣 10/12 02:25
26F：→ mi981027: 限制f時，指的是不論x為何都要成立才能屬於w1 10/12 02:25
28F：→ Ricestone: 其實這樣不夠，因為這樣只是講到h(x^2)=h(x)^2的條件 10/12 08:29
29F：→ Ricestone: 所以必須要找到會使這條件不成立的反例 10/12 08:30
30F：→ Ricestone: 例如要是這空間就只有0函數i.e.f(x)跟g(x)都只會是0 10/12 08:31
31F：→ Ricestone: 那麼這條件必定成立，所以不會有問題 10/12 08:31
32F：推 mi981027: 哦哦哦了解了 命題不存在也成立對嗎 感謝指正 10/12 10:22
33F：→ mi981027: 重新看看 真的漏洞百出... 0應該要分開討論的 抱歉了 10/12 10:29
34F：推 ekids1234: 所以其實可以直接討論(2)的部份，直接證h(x^2)!=h(x)^2 10/12 11:15
35F：→ ekids1234: 即可嗎? 10/12 11:16
36F：→ ekids1234: 如果要證此W符合，寫0函數時就要連0函數也有封閉性一起 10/12 11:17
37F：→ ekids1234: 寫，這樣嗎? 10/12 11:17
38F：→ Ricestone: 要證false就是找反例，討論2的部份的好處是能幫助你找 10/12 11:32
39F：→ Ricestone: 到反例，但反例的存在要舉出來才行 10/12 11:33
40F：→ Ricestone: 證符合的時候0是必須要有的東西之一，當然如果連0都沒 10/12 11:34
41F：→ Ricestone: 就是不用找反例就已經false了 10/12 11:34
42F：→ Ricestone: 而證封閉性的時候本來就是對所有存在於W的元素都一起說 10/12 11:35
43F：→ Ricestone: ，所以不是很需要分開證0的封閉 10/12 11:36
44F：推 APM99: (1)是多餘的(不過當然驗證) 而(2)是草稿 並沒有舉出例子 10/12 11:49
45F：→ Ricestone: 而mi大說應該分開，指的是這裡已經證了這空間不是空的 10/12 11:54
46F：→ Ricestone: 而且又有(2)，所以會有不符合的狀況，問題是0其實是符 10/12 11:55
47F：→ Ricestone: 合的，而且舉出反例前也不能保證0之外的真的不會符合 10/12 11:56
48F：→ mi981027: 解釋一下好了 我的稿的思路是想證他是子空間 但最後導 10/12 12:15
49F：→ mi981027: 到他不符合封閉性 所以先有1的證明表示他第一關0函數存 10/12 12:15
50F：→ mi981027: 在是通過的 10/12 12:15
51F：→ mi981027: 至於2的部分我說0應該分開討論指的是我最後下的那個不 10/12 12:15
52F：→ mi981027: 等於是有問題的 因為0的情況會等於，只是寫法上出錯了 10/12 12:15
53F：→ mi981027: 不是指證封閉性需要另外討論0哈哈 因為封閉性本來就是要 10/12 12:15
54F：→ mi981027: 對於所有元素都成立的 10/12 12:15
55F：推 mi981027: 有問題的地方是 2只說明了： 10/12 12:32
56F：→ mi981027: 若f不是0函數，則h(x^2) 不等於 h(x)^2 10/12 12:32
57F：→ mi981027: 但沒有說明 w1裡是否真的含有非0向量 10/12 12:32
58F：推 APM99: 不懂 那第一關應該是驗證她是零函數吧 而不是令她是零函數 10/12 16:25
59F：→ Ricestone: 因為想證子空間，所以是在驗證原空間的0有在這集合裡面 10/12 16:32
60F：→ fmtshk: 所以這麼證不行是因為有可能W1就只含有0，這樣(2)就會成 10/13 11:11
61F：→ fmtshk: 立嗎？ 但我如何知道W1還有其它非零元素？ 10/13 11:11
62F：→ fmtshk: 還是應該說，W1在只有0函數的情況時才成立，當包含其他函 10/13 11:14
63F：→ fmtshk: 數就不為子空間？ 10/13 11:14
64F：→ Ricestone: 所以才說舉反例啊，隨便一個不是0的都可以 10/13 11:17
65F：→ Ricestone: W1寫的條件就已經決定它會有什麼東西了，事實就是它並 10/13 11:18
66F：→ Ricestone: 非只有0，所以本來就不是子空間 10/13 11:18