作者mistel (Mistel)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] 線代 對角化 精選例題
時間Mon Aug 19 19:04:28 2019
https://i.imgur.com/tgZv5TU.jpg
想問一下這題的思路是什麼？還有為什麼倒數第二行為什麼可以det(A)x=b這樣解？！
跟對角化有什麼關係嗎？
感謝
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.136.150.143 (臺灣)
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1F：→ Ricestone: 前半段其實就是重講一次講rank one matrix的性質08/19 19:14
2F：→ Ricestone: 後面我也不太清楚為什麼跳這麼快，但至少可以推出x會是08/19 19:35
3F：→ Ricestone: A的eigenvector，方向跟b相同08/19 19:37
4F：→ Ricestone: 而b正是對應eigevnvalue為22的那個eigenvector08/19 19:37
5F：→ Ricestone: 把rank one matrix B寫成 vw^T 其中 v就是b08/19 19:39
6F：→ Ricestone: 則原式可寫成 (I+B)x=(I+bw^T)x=b -> x+bw^Tx = b08/19 19:41
7F：→ Ricestone: -> x+w^Txb = b -> x = b - w^Txb = (1-w^Tx)b08/19 19:42
8F：→ Ricestone: 其中w^Tx = Σx_i，就是我們想要的東西08/19 19:44
真的完全沒有想到b是22的eigenvector...
一開始還以為Ax=1*b 那b可能是1對應的eigenvector，後來想想不太對，接著就卡死了orz
rank=1的矩陣可以拆成vw^T 這個也還沒建立起反射動作，要多注意
真心感謝R大解說
※ 編輯: mistel (223.136.150.143 臺灣), 08/20/2019 00:19:50
9F：推 cms1717698: 倒數第二號 det(A)是純量 所以可以直接除到右邊08/20 18:26
10F：→ Ricestone: 疑問的地方是det(A)x=b是怎麼來的，不是怎麼除過去08/20 18:27
11F：推 cms1717698: 哈哈哈我搞錯原po要問的意思了 08/20 18:30
12F：→ Ricestone: 啊，我知道為什麼會有det(A)x=b了 08/20 18:37
13F：→ Ricestone: 因為書上寫的題目就是det(A)x=b 08/20 18:37
14F：→ cms1717698: 真的耶 他畫的符號是det LUL 08/20 18:41
15F：→ Ricestone: 原題也是行列式的樣子，不過從上面分析來看，不管是矩 08/20 18:42
16F：→ Ricestone: 陣還是行列式，結果都一樣 不過出行列式應該沒必要特 08/20 18:43
17F：→ Ricestone: 地選特徵向量當b，我認為應該是想要出矩陣啦... 08/20 18:44
18F：→ Ricestone: 不過矩陣也是有簡單解法，原式兩邊都左乘[1,..,1]就好 08/20 19:07
19F：→ Ricestone: 只是這樣沒辦法確定x是否有解08/20 19:07
20F：→ Ricestone: 但也就只要確認A可逆就好08/20 19:09
21F：→ mistel: 乾，題目還真的是行列式 傻眼 08/21 00:06
如果這題用矩陣當題目，R大是怎麼想到左乘［1111..1］的？是求和向量［1111...1］^T的
某種應用嗎？
※ 編輯: mistel (223.136.150.143 臺灣), 08/21/2019 00:09:44
22F：→ mistel: 不過這題很妙耶，是不是行列式都有相同的x，神奇的數學 08/21 00:10
23F：→ Ricestone: 只是因為那矩陣全部加起來都定值而已 08/21 01:36
25F：→ asd123159: 不知道這樣想可不可以 08/23 18:42
26F：→ Ricestone: 可以啊，意思跟左乘[1,...1,]是一樣的 08/23 19:19