作者mistel (Mistel)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] 群環體 同態與同構筆記內的同餘關係
時間Thu Aug 15 17:54:00 2019
https://i.imgur.com/JVfWOHg.jpg
想確認一下，這裡的同餘關係跟Zn這個群有什麼關係嗎？
如果一個群裡的元素可以分成一堆一堆的就是同餘關係，每一堆就稱為等價類，這樣的說法
正確嗎？
另外確認一下，同餘關係並不專門指數論裡的mod，對嗎？
覺得在同態同構這邊突然介紹同餘關係有點突兀，想知道這兩者有沒有什麼前因後果？（課
本裡的這個小節沒有同餘關係orz
感謝板上大神
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1F：推 mi981027: 這裡的同餘關係就是數論裡提到的同餘關係 沒有不一樣08/15 18:25
2F：→ mi981027: 先講Zn Zn是把所有整數的等價類變成了他的元素 所以可以08/15 18:25
3F：→ mi981027: 把Zn的元素視為集合08/15 18:25
4F：→ mi981027: 這樣做的話，Zn上的每個運算都要去同餘，才會符合封閉08/15 18:25
5F：→ mi981027: 性 08/15 18:25
6F：→ mi981027: 但是其實同餘關係可以定義在廣義的群裡面 08/15 18:25
7F：→ mi981027: 只要任何一個等價關係符合： 08/15 18:25
8F：→ mi981027: a 同餘 b, c同餘 d 則 ac同餘 bd08/15 18:25
9F：→ mi981027: 那他就會是同餘關係08/15 18:25
10F：→ mi981027: 可以實際帶幾個數字來看08/15 18:25
11F：→ mi981027: 例如： 08/15 18:25
12F：→ mi981027: 8同餘2 (mod 6) , 9 同餘3 (mod 6)08/15 18:25
13F：→ mi981027: 則8*9 同餘 6*3 (mod 6)08/15 18:25
14F：→ mi981027: 第二行少打了一點 Zn是把所有整數上 同餘的等價類(mod n08/15 18:27
15F：→ mi981027: ) 08/15 18:27
16F：推 mi981027: 講沒有不一樣好像有點太武斷@@ 應該是說 數論講的同餘08/15 18:34
17F：→ mi981027: 關係是這裡講的同餘關係用在正整數上的一種08/15 18:34
18F：→ mi981027: 但任何一個代數系統的等價關係只要符合上面講的那個 就08/15 18:34
19F：→ mi981027: 能叫做同餘關係08/15 18:34
20F：推 mi981027: ...又發現有打錯的地方 8*9 同餘2*3才對08/15 18:37
21F：→ Ricestone: 等價類不是專門對同餘關係的詞，你該說同餘類08/15 22:02
22F：→ Ricestone: 或者該說你把關係跟同餘這兩個詞弄混了？ 08/15 22:18
23F：→ Ricestone: 只要是關係，就能把群分成一堆一堆的，這一堆就叫08/15 22:19
24F：→ Ricestone: 等價類（或者簡稱就是類），而同餘關係是一種關係08/15 22:20
25F：→ Ricestone: 所以它也能把群分成一堆一堆，這一堆就可以叫同餘類08/15 22:20
26F：→ Ricestone: 如果要問為何這時會講同餘，那可以說所有跟整數群同構08/15 22:23
27F：→ Ricestone: 的東西也都會自然存在同餘關係08/15 22:24
28F：→ Ricestone: 不然就是想要講Z跟Zn的同態關係吧 08/15 22:26
感謝二位，
同餘是一種關係，可以把群分成一堆一堆
等價類是被某種關係分成一堆一堆的，Zn是整數的所有元素的等價類作為元素形成的集合
嗯...有種塞了很多東西沒有頭緒的感覺...
整理一下，
同態：群跟群的元素之間有函數對映，只要well-defined即可
同構：這個函數要1-1而且onto
群同構：單位元素對映而且反元素對映
根據R大的回覆產生的問題：一個群G1上有同餘關係，如果另一個群G2跟G1同構，那G2有同
餘關係嗎？
再請教一下，所謂的體（field），就是滿足交換環具有乘法單位元素且且for all a不等於
0，a之inverse存在稱為體。
這邊的0是指加法單位元素，沒錯嗎？
所以體應具有加法單位元素，加分反元素，乘法單位元素，乘法反元素
這樣對嗎orz 摸不著邊，但身邊的戰友好像都打算直接放掉這一塊導致沒人可以討論
※ 編輯: mistel (223.136.150.143 臺灣), 08/16/2019 00:33:22
29F：→ Ricestone: 你產生的問題答案是對沒錯，就把原本對應的元素用 08/16 01:14
30F：→ Ricestone: isomorphism映過去就好 08/16 01:15
31F：推 mi981027: 體的那段是對的 08/16 01:15
32F：→ Ricestone: Zn在代數上比較嚴格的定義就是Z/nZ，這寫法就同時跟同 08/16 01:16
33F：→ Ricestone: 態還有同餘有關了 08/16 01:16
34F：→ Ricestone: 只是要講清楚這概念的話還要先講normal subgroup 08/16 01:18
35F：→ Ricestone: Z/nZ這個符號大致上的意思就是以nZ為一種分類方式，對 08/16 01:28
36F：→ Ricestone: Z去分類之後所得到的新的群，而當然這個分類方式實際上 08/16 01:29
37F：→ Ricestone: 跟同餘的那個定義是一樣的 08/16 01:30
38F：→ DLHZ: 再講下去我覺得太偏代數了 我覺得你可以先看個大概就好 08/16 01:34
39F：→ mistel: 感謝R大的回覆，感謝四位，這是我是從生下來最接近數學的 08/16 07:51
40F：→ mistel: 一天TAT 08/16 07:51
41F：→ Ricestone: 我有些講錯了，這邊不該用群，而是環，所以不是normal 08/16 16:12
42F：→ Ricestone: subgroup而是ideal 08/16 16:12