作者mistel (Mistel)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] 群环体 同态与同构笔记内的同余关系
时间Thu Aug 15 17:54:00 2019
https://i.imgur.com/JVfWOHg.jpg
想确认一下，这里的同余关系跟Zn这个群有什麽关系吗？
如果一个群里的元素可以分成一堆一堆的就是同余关系，每一堆就称为等价类，这样的说法
正确吗？
另外确认一下，同余关系并不专门指数论里的mod，对吗？
觉得在同态同构这边突然介绍同余关系有点突兀，想知道这两者有没有什麽前因後果？（课
本里的这个小节没有同余关系orz
感谢板上大神
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1F：推 mi981027: 这里的同余关系就是数论里提到的同余关系 没有不一样08/15 18:25
2F：→ mi981027: 先讲Zn Zn是把所有整数的等价类变成了他的元素 所以可以08/15 18:25
3F：→ mi981027: 把Zn的元素视为集合08/15 18:25
4F：→ mi981027: 这样做的话，Zn上的每个运算都要去同余，才会符合封闭08/15 18:25
5F：→ mi981027: 性 08/15 18:25
6F：→ mi981027: 但是其实同余关系可以定义在广义的群里面 08/15 18:25
7F：→ mi981027: 只要任何一个等价关系符合： 08/15 18:25
8F：→ mi981027: a 同余 b, c同余 d 则 ac同余 bd08/15 18:25
9F：→ mi981027: 那他就会是同余关系08/15 18:25
10F：→ mi981027: 可以实际带几个数字来看08/15 18:25
11F：→ mi981027: 例如： 08/15 18:25
12F：→ mi981027: 8同余2 (mod 6) , 9 同余3 (mod 6)08/15 18:25
13F：→ mi981027: 则8*9 同余 6*3 (mod 6)08/15 18:25
14F：→ mi981027: 第二行少打了一点 Zn是把所有整数上 同余的等价类(mod n08/15 18:27
15F：→ mi981027: ) 08/15 18:27
16F：推 mi981027: 讲没有不一样好像有点太武断@@ 应该是说 数论讲的同余08/15 18:34
17F：→ mi981027: 关系是这里讲的同余关系用在正整数上的一种08/15 18:34
18F：→ mi981027: 但任何一个代数系统的等价关系只要符合上面讲的那个 就08/15 18:34
19F：→ mi981027: 能叫做同余关系08/15 18:34
20F：推 mi981027: ...又发现有打错的地方 8*9 同余2*3才对08/15 18:37
21F：→ Ricestone: 等价类不是专门对同余关系的词，你该说同余类08/15 22:02
22F：→ Ricestone: 或者该说你把关系跟同余这两个词弄混了？ 08/15 22:18
23F：→ Ricestone: 只要是关系，就能把群分成一堆一堆的，这一堆就叫08/15 22:19
24F：→ Ricestone: 等价类（或者简称就是类），而同余关系是一种关系08/15 22:20
25F：→ Ricestone: 所以它也能把群分成一堆一堆，这一堆就可以叫同余类08/15 22:20
26F：→ Ricestone: 如果要问为何这时会讲同余，那可以说所有跟整数群同构08/15 22:23
27F：→ Ricestone: 的东西也都会自然存在同余关系08/15 22:24
28F：→ Ricestone: 不然就是想要讲Z跟Zn的同态关系吧 08/15 22:26
感谢二位，
同余是一种关系，可以把群分成一堆一堆
等价类是被某种关系分成一堆一堆的，Zn是整数的所有元素的等价类作为元素形成的集合
嗯...有种塞了很多东西没有头绪的感觉...
整理一下，
同态：群跟群的元素之间有函数对映，只要well-defined即可
同构：这个函数要1-1而且onto
群同构：单位元素对映而且反元素对映
根据R大的回覆产生的问题：一个群G1上有同余关系，如果另一个群G2跟G1同构，那G2有同
余关系吗？
再请教一下，所谓的体（field），就是满足交换环具有乘法单位元素且且for all a不等於
0，a之inverse存在称为体。
这边的0是指加法单位元素，没错吗？
所以体应具有加法单位元素，加分反元素，乘法单位元素，乘法反元素
这样对吗orz 摸不着边，但身边的战友好像都打算直接放掉这一块导致没人可以讨论
※ 编辑: mistel (223.136.150.143 台湾), 08/16/2019 00:33:22
29F：→ Ricestone: 你产生的问题答案是对没错，就把原本对应的元素用 08/16 01:14
30F：→ Ricestone: isomorphism映过去就好 08/16 01:15
31F：推 mi981027: 体的那段是对的 08/16 01:15
32F：→ Ricestone: Zn在代数上比较严格的定义就是Z/nZ，这写法就同时跟同 08/16 01:16
33F：→ Ricestone: 态还有同余有关了 08/16 01:16
34F：→ Ricestone: 只是要讲清楚这概念的话还要先讲normal subgroup 08/16 01:18
35F：→ Ricestone: Z/nZ这个符号大致上的意思就是以nZ为一种分类方式，对 08/16 01:28
36F：→ Ricestone: Z去分类之後所得到的新的群，而当然这个分类方式实际上 08/16 01:29
37F：→ Ricestone: 跟同余的那个定义是一样的 08/16 01:30
38F：→ DLHZ: 再讲下去我觉得太偏代数了 我觉得你可以先看个大概就好 08/16 01:34
39F：→ mistel: 感谢R大的回覆，感谢四位，这是我是从生下来最接近数学的 08/16 07:51
40F：→ mistel: 一天TAT 08/16 07:51
41F：→ Ricestone: 我有些讲错了，这边不该用群，而是环，所以不是normal 08/16 16:12
42F：→ Ricestone: subgroup而是ideal 08/16 16:12