作者r5e97nk63 (DoUNo)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] 線代 可逆條件 證明
時間Sun Aug 4 11:15:10 2019
https://i.imgur.com/vGxMlOr.jpg
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有兩個問題
1.
想問(3) → (1) 的意義
因為
Ax=b 有解 (包含唯一解和無限多組解) => A可逆
這條件其實蠻強的耶
ans:其實我們還有一個 for all b∈F^(n*1) 協助限縮
假設今天
Ax=b 有無限多組解 => A可逆
也符合上述命題邏輯呀，可是不對呀，這從RANK就可以證錯誤了
(無限多組解可將一列化為0列，有0列無法形成單位矩陣)
ans:這樣解釋這個命題是錯的，無限多組解的狀況不會符合這個命題的充分條件，
因為無限多組解可以找到一個b'使得Ax=b'變成無解，此時不符合
for any b∈F^(n*1), Ax=b有解，自然不能推論A可逆
其實可以從同等命題下去看
A不可逆 => Ax=b 無解 (X)
因為Ax = b 具無限多組解 也是不可逆
ans:這命題其實跟書上不同，書上的同等命題應該是
A不可逆 => ∃b∈F^(n*1), Ax=b 無解
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2.
這裡(3) → (1) 的證明手法其實跟 1. 我想問的問題也是差不多
一開始寫for all b ∈ vector on nx1 field
可是卻又把b限縮到e(i)得證 (這種情形是特解呀，雖然特解包含在有解，但通解呢?)
這樣不能證明當 Ax=b , b有解 → A 可逆呀
只能證明當 Ax=b , b有特解 → A 可逆
ans:這裡的盲點在於如果無法滿足「for all b∈F^(n*1)」就無法滿足該命題，
因此一定有辦法在 「for all b∈F^(n*1), Ax=b有解」這個條件下找出b，
使得A「必」可以被證明可逆。
沒有什麼限縮的問題，因為這裡的推理是一步一步往後推，不能突然推到一
半往回挑戰(除非等價命題才可以往回推)。
這裡一直忽略要加上for all b∈F^(n*1)這條件，才能推得可逆。
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3.
命題邏輯
如果你是人類 → 你會懷孕
pf: 你是人類，假設你是女生，你會懷孕，得證。(不合理)
應該要把所有都假設
你是人類，假設你是男生，你不會懷孕，矛盾(充分條件與必要條件矛盾)
不然就是利用同等命題
如果你不會懷孕 → 你不是人類 (X)
男生不會懷孕 → 男生不是人類 (不合理)
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總結：
1.
A可逆 <=> Ax=b 具唯一解
2.
A可逆 => Ax=b 有解 (O)
A可逆 <= Ax=b 有解 (X)
所以
A可逆 <=> Ax=b 有解 (X)
主要想釐清
2.的部分
ans:這裡主要的問題一樣是忽略掉for all b∈F^(n*1)這條件，這條件會將無限多組解
的情形排除掉，因此是等價命題，沒有問題。
先謝謝各位的回答
感謝Ricestone 大大的解惑QQ
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1F：→ Ricestone: 它(2)跟(3)的b不是特定的b，是對所有的F^(n*1)都有解 08/04 11:21
2F：→ Ricestone: 以你的第一個問題來說，那個0列對應的向量元素不是0 08/04 11:22
3F：→ Ricestone: 就變成無解了，也就是存在無解的向量，所以不可逆 08/04 11:23
4F：→ Ricestone: 從第二個問題，我看你應該是弄錯什麼叫有解了 08/04 11:23
5F：→ r5e97nk63: 對呀 所以這樣才不合理呀 如果b使得x為無限多組解 08/04 11:24
6F：→ Ricestone: 有解指的是對這個b來說，存在x使得Ax=b，未知的不是b 08/04 11:24
7F：→ r5e97nk63: 這樣A必然為不可逆呀，可是卻也符合充分條件的「有解」 08/04 11:26
8F：→ Ricestone: 問題就是你能找到對那個A來說無解的b啊 08/04 11:27
9F：→ Ricestone: 所以代表不是所有的b都有解，前提就錯了 08/04 11:27
10F：→ r5e97nk63: 摁摁 所以我的疑問在於 書上說 (1)(3)等價 這件事 08/04 11:29
11F：→ r5e97nk63: 示不是錯的 08/04 11:29
12F：→ Ricestone: 沒有錯啊，是你的邏輯錯了 08/04 11:30
13F：→ Ricestone: 就像你第二個問題，對所有b都成立，所以對特定b也成立 08/04 11:30
14F：→ Ricestone: 這是很正常的推論，沒有錯誤 08/04 11:31
15F：→ Ricestone: 因為它就是在找反矩陣出來而已 08/04 11:32
16F：→ r5e97nk63: 這推論我能理解，我卡住的是有解不一定是特解呀，為什 08/04 11:34
17F：→ r5e97nk63: 麼從特解推得A可逆，這樣能說明有解就一定可逆。 08/04 11:34
18F：→ Ricestone: 是「對所有的b都有解」，不要少掉這句話 08/04 11:35
19F：→ Ricestone: 他不是由什麼特解推得A可逆，是因為對所有b都有解才能 08/04 11:36
20F：→ Ricestone: 推到A可逆 不要講什麼特解... 08/04 11:36
21F：→ r5e97nk63: 那麼對所有的b都有解，Ax=b有無限多組解 => A可逆 08/04 11:42
22F：→ Ricestone: 我就是跟你說，如果Ax=b會有無限多解，那就代表你一定 08/04 11:42
23F：→ r5e97nk63: 該怎麼說明呢? 因為無限多組解我們可以 把A 和 b的同列 08/04 11:43
24F：→ Ricestone: 找得到另一個b'使得Ax=b'是無解 08/04 11:43
25F：→ r5e97nk63: 摁摁 這裡我懂 08/04 11:43
26F：→ Ricestone: 既然你有無解的b了，那就沒有A可逆了啊 08/04 11:44
27F：→ r5e97nk63: 然後b'要做什麼事呢? 08/04 11:44
28F：→ r5e97nk63: 這部分容我思考一下邏輯QQ 08/04 11:45
29F：→ Ricestone: 什麼做什麼事，啊不就沒有for any b∈F^(n*1)了... 08/04 11:45
30F：→ r5e97nk63: 哦哦!!!! I got it 感謝解惑 QQ 08/04 11:46
31F：→ r5e97nk63: 原來你指的前提不符是 b' 不符合 for any b∈F^(n*1) 08/04 11:50
32F：→ r5e97nk63: 一直沒注意到這點QQ 難怪繞不出來 08/04 11:50
※ 編輯: r5e97nk63 (36.227.81.6 臺灣), 08/04/2019 14:38:58
33F：→ Ricestone: 我說的前提不符主要是在講你1那邊推論箭頭的左邊 08/04 11:55
34F：→ Ricestone: 我一直強調是對所有的b，因為你每個推論前提都沒寫這點 08/04 11:56
35F：→ Ricestone: 你可以再想一下，你在1所說的同等命題應該寫成什麼樣子 08/04 12:03
36F：→ r5e97nk63: 我原本不把for all b∈F^(n*1)當做很重要的條件，以為 08/04 14:40
37F：→ r5e97nk63: 他只是要描述b這個vector的型態而已，不知道for all的 08/04 14:41
38F：→ r5e97nk63: 用處XD" 不過你舉出b'我就恍然大悟為什麼要for all了 08/04 14:41
39F：推 zoo868e: 推 在自己重新證明的時候也覺得怪怪的 搞懂了 08/04 15:15
40F：推 antagonism: 兄弟你想太多了 08/05 03:57
41F：→ antagonism: 2跟3等價 08/05 03:57
42F：→ antagonism: 就代表若有解是唯一解 08/05 03:57
43F：→ antagonism: 所以你想太多不會是無限多解 08/05 03:57
44F：→ antagonism: 簡單回答你 見笑了 08/05 03:57
45F：→ r5e97nk63: 3->2的證明就是Ricestone大大說的b'呀，當初沒想通這 08/05 15:32
46F：→ r5e97nk63: 個方法所以才會納悶呀。 08/05 15:32