作者r5e97nk63 (DoUNo)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] 线代 可逆条件 证明
时间Sun Aug 4 11:15:10 2019
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有两个问题
1.
想问(3) → (1) 的意义
因为
Ax=b 有解 (包含唯一解和无限多组解) => A可逆
这条件其实蛮强的耶
ans:其实我们还有一个 for all b∈F^(n*1) 协助限缩
假设今天
Ax=b 有无限多组解 => A可逆
也符合上述命题逻辑呀，可是不对呀，这从RANK就可以证错误了
(无限多组解可将一列化为0列，有0列无法形成单位矩阵)
ans:这样解释这个命题是错的，无限多组解的状况不会符合这个命题的充分条件，
因为无限多组解可以找到一个b'使得Ax=b'变成无解，此时不符合
for any b∈F^(n*1), Ax=b有解，自然不能推论A可逆
其实可以从同等命题下去看
A不可逆 => Ax=b 无解 (X)
因为Ax = b 具无限多组解 也是不可逆
ans:这命题其实跟书上不同，书上的同等命题应该是
A不可逆 => ∃b∈F^(n*1), Ax=b 无解
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2.
这里(3) → (1) 的证明手法其实跟 1. 我想问的问题也是差不多
一开始写for all b ∈ vector on nx1 field
可是却又把b限缩到e(i)得证 (这种情形是特解呀，虽然特解包含在有解，但通解呢?)
这样不能证明当 Ax=b , b有解 → A 可逆呀
只能证明当 Ax=b , b有特解 → A 可逆
ans:这里的盲点在於如果无法满足「for all b∈F^(n*1)」就无法满足该命题，
因此一定有办法在 「for all b∈F^(n*1), Ax=b有解」这个条件下找出b，
使得A「必」可以被证明可逆。
没有什麽限缩的问题，因为这里的推理是一步一步往後推，不能突然推到一
半往回挑战(除非等价命题才可以往回推)。
这里一直忽略要加上for all b∈F^(n*1)这条件，才能推得可逆。
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3.
命题逻辑
如果你是人类 → 你会怀孕
pf: 你是人类，假设你是女生，你会怀孕，得证。(不合理)
应该要把所有都假设
你是人类，假设你是男生，你不会怀孕，矛盾(充分条件与必要条件矛盾)
不然就是利用同等命题
如果你不会怀孕 → 你不是人类 (X)
男生不会怀孕 → 男生不是人类 (不合理)
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总结：
1.
A可逆 <=> Ax=b 具唯一解
2.
A可逆 => Ax=b 有解 (O)
A可逆 <= Ax=b 有解 (X)
所以
A可逆 <=> Ax=b 有解 (X)
主要想厘清
2.的部分
ans:这里主要的问题一样是忽略掉for all b∈F^(n*1)这条件，这条件会将无限多组解
的情形排除掉，因此是等价命题，没有问题。
先谢谢各位的回答
感谢Ricestone 大大的解惑QQ
--
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1F：→ Ricestone: 它(2)跟(3)的b不是特定的b，是对所有的F^(n*1)都有解 08/04 11:21
2F：→ Ricestone: 以你的第一个问题来说，那个0列对应的向量元素不是0 08/04 11:22
3F：→ Ricestone: 就变成无解了，也就是存在无解的向量，所以不可逆 08/04 11:23
4F：→ Ricestone: 从第二个问题，我看你应该是弄错什麽叫有解了 08/04 11:23
5F：→ r5e97nk63: 对呀 所以这样才不合理呀 如果b使得x为无限多组解 08/04 11:24
6F：→ Ricestone: 有解指的是对这个b来说，存在x使得Ax=b，未知的不是b 08/04 11:24
7F：→ r5e97nk63: 这样A必然为不可逆呀，可是却也符合充分条件的「有解」 08/04 11:26
8F：→ Ricestone: 问题就是你能找到对那个A来说无解的b啊 08/04 11:27
9F：→ Ricestone: 所以代表不是所有的b都有解，前提就错了 08/04 11:27
10F：→ r5e97nk63: 摁摁 所以我的疑问在於 书上说 (1)(3)等价 这件事 08/04 11:29
11F：→ r5e97nk63: 示不是错的 08/04 11:29
12F：→ Ricestone: 没有错啊，是你的逻辑错了 08/04 11:30
13F：→ Ricestone: 就像你第二个问题，对所有b都成立，所以对特定b也成立 08/04 11:30
14F：→ Ricestone: 这是很正常的推论，没有错误 08/04 11:31
15F：→ Ricestone: 因为它就是在找反矩阵出来而已 08/04 11:32
16F：→ r5e97nk63: 这推论我能理解，我卡住的是有解不一定是特解呀，为什 08/04 11:34
17F：→ r5e97nk63: 麽从特解推得A可逆，这样能说明有解就一定可逆。 08/04 11:34
18F：→ Ricestone: 是「对所有的b都有解」，不要少掉这句话 08/04 11:35
19F：→ Ricestone: 他不是由什麽特解推得A可逆，是因为对所有b都有解才能 08/04 11:36
20F：→ Ricestone: 推到A可逆 不要讲什麽特解... 08/04 11:36
21F：→ r5e97nk63: 那麽对所有的b都有解，Ax=b有无限多组解 => A可逆 08/04 11:42
22F：→ Ricestone: 我就是跟你说，如果Ax=b会有无限多解，那就代表你一定 08/04 11:42
23F：→ r5e97nk63: 该怎麽说明呢? 因为无限多组解我们可以 把A 和 b的同列 08/04 11:43
24F：→ Ricestone: 找得到另一个b'使得Ax=b'是无解 08/04 11:43
25F：→ r5e97nk63: 摁摁 这里我懂 08/04 11:43
26F：→ Ricestone: 既然你有无解的b了，那就没有A可逆了啊 08/04 11:44
27F：→ r5e97nk63: 然後b'要做什麽事呢? 08/04 11:44
28F：→ r5e97nk63: 这部分容我思考一下逻辑QQ 08/04 11:45
29F：→ Ricestone: 什麽做什麽事，啊不就没有for any b∈F^(n*1)了... 08/04 11:45
30F：→ r5e97nk63: 哦哦!!!! I got it 感谢解惑 QQ 08/04 11:46
31F：→ r5e97nk63: 原来你指的前提不符是 b' 不符合 for any b∈F^(n*1) 08/04 11:50
32F：→ r5e97nk63: 一直没注意到这点QQ 难怪绕不出来 08/04 11:50
※ 编辑: r5e97nk63 (36.227.81.6 台湾), 08/04/2019 14:38:58
33F：→ Ricestone: 我说的前提不符主要是在讲你1那边推论箭头的左边 08/04 11:55
34F：→ Ricestone: 我一直强调是对所有的b，因为你每个推论前提都没写这点 08/04 11:56
35F：→ Ricestone: 你可以再想一下，你在1所说的同等命题应该写成什麽样子 08/04 12:03
36F：→ r5e97nk63: 我原本不把for all b∈F^(n*1)当做很重要的条件，以为 08/04 14:40
37F：→ r5e97nk63: 他只是要描述b这个vector的型态而已，不知道for all的 08/04 14:41
38F：→ r5e97nk63: 用处XD" 不过你举出b'我就恍然大悟为什麽要for all了 08/04 14:41
39F：推 zoo868e: 推 在自己重新证明的时候也觉得怪怪的 搞懂了 08/04 15:15
40F：推 antagonism: 兄弟你想太多了 08/05 03:57
41F：→ antagonism: 2跟3等价 08/05 03:57
42F：→ antagonism: 就代表若有解是唯一解 08/05 03:57
43F：→ antagonism: 所以你想太多不会是无限多解 08/05 03:57
44F：→ antagonism: 简单回答你 见笑了 08/05 03:57
45F：→ r5e97nk63: 3->2的证明就是Ricestone大大说的b'呀，当初没想通这 08/05 15:32
46F：→ r5e97nk63: 个方法所以才会纳闷呀。 08/05 15:32