作者magic83v (R7)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] 線代 反矩陣求法
時間Wed Jan 23 17:04:33 2019
https://i.imgur.com/HHVUJxG.jpg
https://i.imgur.com/rSNB8cZ.jpg
題目給矩陣 M=a‧I+b‧x‧x^t
找反矩陣
詳解的做法 令兩個相成=I
但為何能假設M^-1= c‧I+d‧x‧x^t
雖然乘出來剛好是單位矩陣
或是還有別的想法能解這題嗎
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.26.163.42
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Grad-ProbAsk/M.1548234276.A.513.html
1F：→ Ricestone: 這算是特徵多項式的方法01/23 17:31
2F：→ Ricestone: 我有另一種方法，不過概念跟特徵多項式一樣01/23 17:31
3F：→ Ricestone: 令xx^t=S，則S^2=nS，首先算M^2 = (a^2)I+(2ab+nb^2)S01/23 17:33
4F：→ kaidi620: 樓主可以連其他小題的解答一起貼上來嗎01/23 17:34
https://i.imgur.com/DHOOcyg.jpg
5F：→ Ricestone: 所以M^2=(2a+nb)M-(a^2+nab)I01/23 17:36
6F：→ Ricestone: 於是M=aI+bS=(2a+nb)I-(a^2+nab)M^(-1)01/23 17:38
感謝! 不過是前面指的特徵多項式
是用到特徵多項式的哪個概念?
還有這個算式得到的結論
我可以當做 只要矩陣是由a‧I+b‧S 組成的
且 S^2=k‧S <=> 反矩陣也是由 c‧I+b‧S 組成
嗎？
※ 編輯: magic83v (110.26.163.42), 01/23/2019 18:13:03
※ 編輯: magic83v (110.26.163.42), 01/23/2019 18:13:34
7F：→ Ricestone: 主要是因為最小多項式只有二次01/23 18:20
8F：→ Ricestone: 所以p(A)=0 -> αA^2+βA+γI=0 -> αA+βI+γA^-1=001/23 18:23
9F：→ Ricestone: 所以這情況下A^(-1)都可以被表示為A跟I的某個線性組合01/23 18:24
感謝大大懂了！ min poly最多兩次方才能這樣
所以上面打的整串應該都是錯的
※ 編輯: magic83v (110.26.163.42), 01/23/2019 18:34:02
10F：→ Ricestone: 沒啊，沒有錯。今天如果有M=aI+bS，則(b^-1)(M-aI)=S 01/23 18:37
11F：→ Ricestone: 所以M-aI也滿足二次的多項式->M滿足某個二次多項式 01/23 18:38
12F：→ Ricestone: A+αI這樣的矩陣之間在特徵多項式上關係蠻密切的 01/23 18:40
13F：→ Ricestone: 啊不過我不確定往左的箭頭有沒有對 01/23 18:41
14F：→ magic83v: 哦哦了解 剛是想到可能3個eigenvalue 的情況會不會有例 01/23 18:45
15F：→ magic83v: 外出現之類的 01/23 18:45
16F：→ magic83v: 用多項式的角度考慮這個應該比較安全(? 01/23 18:46
17F：→ Ricestone: 這題組看起來應該是希望連接到多項式吧，大概 01/23 18:49
18F：→ Ricestone: 像是第一小題那兩個特徵值，就是這最小多項式的根 01/23 18:50