作者magic83v (R7)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] 线代 反矩阵求法
时间Wed Jan 23 17:04:33 2019
https://i.imgur.com/HHVUJxG.jpg
https://i.imgur.com/rSNB8cZ.jpg
题目给矩阵 M=a‧I+b‧x‧x^t
找反矩阵
详解的做法 令两个相成=I
但为何能假设M^-1= c‧I+d‧x‧x^t
虽然乘出来刚好是单位矩阵
或是还有别的想法能解这题吗
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 110.26.163.42
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Grad-ProbAsk/M.1548234276.A.513.html
1F：→ Ricestone: 这算是特徵多项式的方法01/23 17:31
2F：→ Ricestone: 我有另一种方法，不过概念跟特徵多项式一样01/23 17:31
3F：→ Ricestone: 令xx^t=S，则S^2=nS，首先算M^2 = (a^2)I+(2ab+nb^2)S01/23 17:33
4F：→ kaidi620: 楼主可以连其他小题的解答一起贴上来吗01/23 17:34
https://i.imgur.com/DHOOcyg.jpg
5F：→ Ricestone: 所以M^2=(2a+nb)M-(a^2+nab)I01/23 17:36
6F：→ Ricestone: 於是M=aI+bS=(2a+nb)I-(a^2+nab)M^(-1)01/23 17:38
感谢! 不过是前面指的特徵多项式
是用到特徵多项式的哪个概念?
还有这个算式得到的结论
我可以当做 只要矩阵是由a‧I+b‧S 组成的
且 S^2=k‧S <=> 反矩阵也是由 c‧I+b‧S 组成
吗？
※ 编辑: magic83v (110.26.163.42), 01/23/2019 18:13:03
※ 编辑: magic83v (110.26.163.42), 01/23/2019 18:13:34
7F：→ Ricestone: 主要是因为最小多项式只有二次01/23 18:20
8F：→ Ricestone: 所以p(A)=0 -> αA^2+βA+γI=0 -> αA+βI+γA^-1=001/23 18:23
9F：→ Ricestone: 所以这情况下A^(-1)都可以被表示为A跟I的某个线性组合01/23 18:24
感谢大大懂了！ min poly最多两次方才能这样
所以上面打的整串应该都是错的
※ 编辑: magic83v (110.26.163.42), 01/23/2019 18:34:02
10F：→ Ricestone: 没啊，没有错。今天如果有M=aI+bS，则(b^-1)(M-aI)=S 01/23 18:37
11F：→ Ricestone: 所以M-aI也满足二次的多项式->M满足某个二次多项式 01/23 18:38
12F：→ Ricestone: A+αI这样的矩阵之间在特徵多项式上关系蛮密切的 01/23 18:40
13F：→ Ricestone: 啊不过我不确定往左的箭头有没有对 01/23 18:41
14F：→ magic83v: 哦哦了解 刚是想到可能3个eigenvalue 的情况会不会有例 01/23 18:45
15F：→ magic83v: 外出现之类的 01/23 18:45
16F：→ magic83v: 用多项式的角度考虑这个应该比较安全(? 01/23 18:46
17F：→ Ricestone: 这题组看起来应该是希望连接到多项式吧，大概 01/23 18:49
18F：→ Ricestone: 像是第一小题那两个特徵值，就是这最小多项式的根 01/23 18:50