作者magic83v (R7)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] 離散整數nod n乘法群
時間Tue Jan 22 01:50:51 2019
https://i.imgur.com/0vrluxo.jpg
這題在問z*196的order
order應該是指’循環群’ 元素a^m=e 的m
但這題問的是 o(G) .
沒有問是哪個元素生成的循環群
做法直接用互質的數 說明order 應該不對吧？
https://i.imgur.com/g5KqyLP.jpg
上一題的說法是當作乘法mod是循環群
但是wiki找到的好像不是(看不太懂
這題4和19互質 但是4沒辦法生成z19
能說明乘法mod不是循環群吧？
那這樣第一題的order 問法跟解答應該都不對？
困擾很久 感謝
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.26.163.42
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1F：推 skyHuan: 樓下TEPLUN01/22 01:59
2F：→ Ricestone: order不是指那東西，原本order指的就是群的大小01/22 02:04
3F：→ Ricestone: 簡單來說就是那群裡面有多少元素01/22 02:04
4F：→ Ricestone: 循環群裡面元素剛好就是m01/22 02:04
5F：→ Ricestone: 而它今天需要組成一個群，就代表要有乘法反元素01/22 02:08
6F：→ Ricestone: 也就是說，是蒐集所有跟196互質的東西01/22 02:08
有點亂掉 舉個例子
Z*196中的 16 跟196不互質 所以不是Z196的元素
Z*19的order是18 18個數跟19互質
其中的循環子群<1> order是1
循環子群<4> order是9
這樣解釋對嗎
※ 編輯: magic83v (110.26.163.42), 01/22/2019 02:26:41
7F：→ magic83v: 講完之後好像釐清了0.0！ 感謝rice大01/22 02:27
8F：→ Ricestone: 挑小毛病，不是Z*196的元素01/22 02:33
9F：→ Ricestone: 我講得不太完整，對群來說的order是大小沒錯01/22 05:00
10F：→ Ricestone: 但對元素的order有兩種定義方式，一種就是以這元素做為01/22 05:00
11F：→ Ricestone: 生成元所生出的循環子群的order，另一種定義方式就是你01/22 05:01
12F：→ Ricestone: 寫得a^m=e的最小的m，這兩種是等價的01/22 05:01
13F：→ Ricestone: 以一致性來看我是比較喜歡第一種，第二種是運算上方便01/22 05:02
14F：→ eggy1018: 想請問R大 如果這樣的話第一題怎麼能保證phi(196)就是01/22 07:47
15F：→ eggy1018: 最小的m呢？ 01/22 07:47
16F：→ Ricestone: Z*196本身不是循環群，跟m沒關係 這邊講的m是元素order 01/22 08:01
17F：→ Ricestone: 舉例來說，Z*19是循環群，可以找到一個元素2生成它自己 01/22 08:06
18F：→ Ricestone: 反過來說，在Z*196裡是找不到能生成自己的元素的 01/22 08:06
19F：→ Ricestone: 但不管怎麼說，任何元素都能自己生成一個循環子群 01/22 08:07
20F：→ Ricestone: 而子群的order一定能整除原群的order 01/22 08:08
21F：→ Ricestone: 對mod乘法群的order來說大概知道到這裡，再加上那幾個 01/22 08:10
22F：→ Ricestone: 定理就差不多了吧01/22 08:10
23F：推 leekevinming: 不好意思想要問一下Rice大一個題外話,Z*n如果要是循01/22 08:59
24F：→ leekevinming: 環群,那麼n就要是質數嗎？01/22 09:00
25F：→ Ricestone: 不用是質數，例如Z*4也是循環群，不過Z*8就不是了01/22 09:22
26F：推 leekevinming: Z*4也是循環群嗎？那他的generator是什麼呀？01/22 09:32
27F：推 leekevinming: 阿完蛋了還是有點搞不懂循環群的定義,循環群不是要01/22 09:35
28F：→ leekevinming: 找得到一個generator生成該群所有元素才能算是循環01/22 09:35
29F：→ leekevinming: 群嗎？01/22 09:35
30F：→ TaiwanFight: 搞懂 Z*n 的定義 然後自己把Z*4列出來 不就行了01/22 09:37
31F：→ TaiwanFight: 不會列就沒討論的意思 會列也就不用討論了01/22 09:38
32F：→ Ricestone: Z*4只有兩個東西，1跟3，3是generator01/22 09:42
33F：→ Ricestone: 另外高斯其實有個好結論，他說Z*n是循環群iff n=1,2,4,01/22 09:44
34F：→ Ricestone: p^k,2p^k p為奇質數01/22 09:44
35F：推 leekevinming: 好喔謝謝Rice大01/22 09:50
36F：→ Ricestone: 喔，我發現漏看原po文裡面一個錯誤的地方01/22 11:00
37F：→ Ricestone: Z*19的確是循環群，你說4跟19互質這件事情是在加法群時 01/22 11:01
38F：→ Ricestone: 才有的事情，在這裡你要看成4是2^2，而群的order是18 01/22 11:02
39F：→ Ricestone: 2跟18不互質，所以4=2^2不會生成整個群 01/22 11:02
40F：推 eggy1018: 謝謝R大我搞懂了 01/22 18:47
※ 編輯: magic83v (123.193.92.189), 01/22/2019 23:47:09
41F：推 eggy1018: 第一題是對的，因為是問group 的order，就是找乘法群中 01/23 23:41
42F：→ eggy1018: 有多少個元素，也就是找和其互質的個數 01/23 23:41