作者magic83v (R7)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] 線代 103台聯大電機 對稱矩陣rank
時間Tue Nov 6 15:07:07 2018
分類在算子理論的題目
但是完全沒看懂要用到哪裡的觀念來解這題
感謝各位
https://i.imgur.com/GMKYtBo.jpg
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1F：→ Ricestone: real symmetric matrix的eigenvalue都會是real11/06 15:13
2F：→ Ricestone: 並且AB也會是symmetric，且AB=0 =>detAB = 011/06 15:16
3F：→ Ricestone: 而detAB = detA * detB11/06 15:17
4F：→ Ricestone: 我有點誤會，我先想想11/06 15:25
5F：→ Ricestone: (1)假設BA有個eigenvector u，with eigenvalue s11/06 15:31
6F：→ Ricestone: then BAu = s u -> ABAu = s Au -> 0 = Au11/06 15:32
7F：→ Ricestone: ->BAu = 0 -> eigenvalue must be 011/06 15:33
8F：→ Ricestone: 同樣道理能解決(4)11/06 15:33
9F：→ Ricestone: A^2 = P(Λ^2)P^-1 = O11/06 15:34
10F：→ Ricestone: -> Λ = O -> A = O11/06 15:35
11F：→ Ricestone: (2)若AB=0 則CS(B)可以由 RankB 個向量作為基底11/06 15:46
12F：→ Ricestone: 但這RankB個基底必須被A送到0 ->都是A的Nullspace基底11/06 15:47
13F：→ Ricestone: 的一部分 -> RankA + NullityA = n , NullityA>=RankB11/06 15:48
14F：→ Ricestone: 所以 RankA + RankB <= n11/06 15:48
15F：→ Ricestone: (3)的話，也可以用必可對角化性質，說明A跟A^2rank一樣11/06 15:54
了解了 感謝
1我想法是他們eigenvalue 一樣
又是0矩陣 所以eigenvalue 都是0 這樣更簡單吧
大大你解1.2題的想法我還真怕我考試卡住
※ 編輯: magic83v (39.8.106.60), 11/06/2018 16:08:57
16F：→ Ricestone: 也可以啦，其實那證明跟證eigenvalue一樣是一樣的11/06 16:15
17F：→ Ricestone: (2)應該就是rank-nullity theorem最簡單了吧 11/06 16:17
明白了 2就是ker(A)會包含cs(B)的意思 考在rank上
題目變化一下我就要轉好久～
※ 編輯: magic83v (39.8.106.60), 11/06/2018 16:19:58
18F：→ Ricestone: 嗯，因為我想到什麼就打什麼，沒整理好 11/06 16:28
19F：→ Ricestone: 我發現(1)可以直接由AB = O -> (AB)^T = O -> BA = O 11/06 17:56
20F：→ Ricestone: 老實說這題有些選項跟對稱矩陣沒關係... 11/06 17:56
21F：→ magic83v: 對啊 我不知道標題要怎麼分類隨便打關鍵字..囧 11/06 17:57
23F：→ TEPLUN: 補上3.4 5只保證B是正交 11/06 22:33