作者magic83v (R7)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] 线代 103台联大电机 对称矩阵rank
时间Tue Nov 6 15:07:07 2018
分类在算子理论的题目
但是完全没看懂要用到哪里的观念来解这题
感谢各位
https://i.imgur.com/GMKYtBo.jpg
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1F：→ Ricestone: real symmetric matrix的eigenvalue都会是real11/06 15:13
2F：→ Ricestone: 并且AB也会是symmetric，且AB=0 =>detAB = 011/06 15:16
3F：→ Ricestone: 而detAB = detA * detB11/06 15:17
4F：→ Ricestone: 我有点误会，我先想想11/06 15:25
5F：→ Ricestone: (1)假设BA有个eigenvector u，with eigenvalue s11/06 15:31
6F：→ Ricestone: then BAu = s u -> ABAu = s Au -> 0 = Au11/06 15:32
7F：→ Ricestone: ->BAu = 0 -> eigenvalue must be 011/06 15:33
8F：→ Ricestone: 同样道理能解决(4)11/06 15:33
9F：→ Ricestone: A^2 = P(Λ^2)P^-1 = O11/06 15:34
10F：→ Ricestone: -> Λ = O -> A = O11/06 15:35
11F：→ Ricestone: (2)若AB=0 则CS(B)可以由 RankB 个向量作为基底11/06 15:46
12F：→ Ricestone: 但这RankB个基底必须被A送到0 ->都是A的Nullspace基底11/06 15:47
13F：→ Ricestone: 的一部分 -> RankA + NullityA = n , NullityA>=RankB11/06 15:48
14F：→ Ricestone: 所以 RankA + RankB <= n11/06 15:48
15F：→ Ricestone: (3)的话，也可以用必可对角化性质，说明A跟A^2rank一样11/06 15:54
了解了 感谢
1我想法是他们eigenvalue 一样
又是0矩阵 所以eigenvalue 都是0 这样更简单吧
大大你解1.2题的想法我还真怕我考试卡住
※ 编辑: magic83v (39.8.106.60), 11/06/2018 16:08:57
16F：→ Ricestone: 也可以啦，其实那证明跟证eigenvalue一样是一样的11/06 16:15
17F：→ Ricestone: (2)应该就是rank-nullity theorem最简单了吧 11/06 16:17
明白了 2就是ker(A)会包含cs(B)的意思 考在rank上
题目变化一下我就要转好久～
※ 编辑: magic83v (39.8.106.60), 11/06/2018 16:19:58
18F：→ Ricestone: 嗯，因为我想到什麽就打什麽，没整理好 11/06 16:28
19F：→ Ricestone: 我发现(1)可以直接由AB = O -> (AB)^T = O -> BA = O 11/06 17:56
20F：→ Ricestone: 老实说这题有些选项跟对称矩阵没关系... 11/06 17:56
21F：→ magic83v: 对啊 我不知道标题要怎麽分类随便打关键字..囧 11/06 17:57
23F：→ TEPLUN: 补上3.4 5只保证B是正交 11/06 22:33