作者piskebee (蜜蜂P助)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] 線代 矩陣有解的判斷
時間Thu Sep 13 08:03:32 2018
https://i.imgur.com/ECY4rKw.png
這部分看了好久還不是很懂，想請問：
Note(2) 中 rank(A) = m 時至少一解，
是包含無自由變數時的唯一解、有自由變數的無限多解，這兩種情況？還是有其他的？
Note(3) 中 rank(A) = n 時至多一解，
是因為唯一解、無解，如下這樣嗎？
https://i.imgur.com/yyzjZss.jpg
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此外也想請問一下這樣判斷對不對
https://i.imgur.com/vLtJHyp.png
A: mxn
EX(1) A: 3x5, rank(A) = 3
rank(A) = m： CS(A) = F^mx1 夠大，∀b 有解，至少一解
rank(A) < n： 有自由變數或無解
根據 m 再根據 n，此題為無限多解
EX(2) A: 4x3, rank(A) = 3
rank(A) < m： CS(A) != F^mx1 不夠大，some b 有解，some b 無解
rank(A) = n： 至多一解，亦即有唯一解或無解
根據 m 再根據 n，此題為至多一解（有解必定為唯一解）
EX(3) A: 3x4, rank(A) = 2
rank(A) < m： CS(A) != F^mx1 不夠大，some b 有解，some b 無解
rank(A) < n： 有自由變數或無解
根據 m 再根據 n，此題為 some b 因 x 有自由變數而無限多解，some b 則無解
先謝謝各位
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1F：推 eggy1018: 就Amxn來說，若是rank=n時稱作full column rank,此時A 09/13 08:21
2F：→ eggy1018: 的row在做消去法的同時若出現一個「非零值=0」則「無解 09/13 08:21
3F：→ eggy1018: 」，反之就是「0=0」，所以有「唯一解」 09/13 08:21
4F：推 eggy1018: Rank = m則稱為full row rank, 此時「不可能會有0=0」 09/13 08:24
5F：→ eggy1018: 產生，要考慮的是在消去法的同時會產生多少的free varia 09/13 08:24
6F：→ eggy1018: ble, 所以宏觀而言，如果rank = m < n就無限多組解，因 09/13 08:25
7F：→ eggy1018: 為必有free variable 出現 09/13 08:25
8F：推 eggy1018: 無解 》消去法過程中非零值 = 0 / 無限多組解〉有自由 09/13 08:28
9F：→ eggy1018: 變數出現（rank(A)< n) 09/13 08:28
10F：推 eggy1018: 最後你寫唯一解跟無限多解的方式都是對的，至於在看例題 09/13 08:32
11F：→ eggy1018: 的時候建議從rank & 消去法下手，以上有錯還請告知 09/13 08:32
所以是以下這樣的意思嗎？
rank = m < n 時
因消去法後有自由變數，無限多解
rank = n < m
消去法後
可能造成 Ax=b 之某列為 0=非零，即無解
也可能 Ax=b 之某列為 0=0，即唯一解
（總覺得這邊我的想法還在第一章 XD）
12F：推 KWire: 如果把 A 看成一個 F^n 到 F^m 的線性轉換 09/13 11:16
13F：→ KWire: 每個 F^m 裡面的東西都有解，表示是 A 是 onto 09/13 11:17
14F：→ KWire: 所以 A 的值空間就要是 F^m，維度就要一樣 09/13 11:17
所以 dim(R(A)) = m
rank(A) = m
15F：→ KWire: 每個 F^m 裡面的東西至多一解表示 A 至少是 1-1 09/13 11:18
請問這句能在解釋詳細一點嗎？至少的意思是？
目前只想得到 F^m 至多一解，就是唯一解和無解
而唯一解就是一個點對過去一個點，無解就是沒有點對過去
16F：推 KWire: 值空間的維度至少要是 n，但線轉不會升維度，所以只能是 n 09/13 11:19
17F：→ silence0925: 感謝樓上大大的講解 但不太懂為什麼線轉不會升維度 09/13 11:40
18F：→ silence0925: 能說得詳細一點嗎 09/13 11:40
19F：推 KWire: 假設 n 維定義域的值空間升到 n + k 維 09/13 12:08
20F：→ KWire: 把那組 n + k 維基底 T(x1) … T(x_{n + k}) 找出來 09/13 12:08
21F：推 KWire: 寫下 線組=0 iff 係數全0 並把線性組合通通塞回 T 裡面 09/13 12:11
22F：推 KWire: 發現這個 n 維空間居然有元素數 n + k 的線性獨立集，矛盾 09/13 12:14
23F：推 KWire: 或有非零元素被送到0，那值空間顯然不可能比n維大，也矛盾 09/13 12:19
※ 編輯: piskebee (106.105.90.47), 09/13/2018 13:39:36
24F：推 eggy1018: 感謝K大分享新觀點 09/13 13:12
25F：推 meokay: Full row rank ：1 or 無限多 ; Full column rank : 0 or 09/13 20:56
26F：→ meokay: 1 09/13 20:56
27F：推 AAQ8: 不好意思想問一下，CS(A) != F^mx1 不夠大，some b 有解，so 09/14 11:18
28F：→ AAQ8: me b 無解，為什麼不夠大就會導致有些b有解有些b無解 09/14 11:18
29F：推 KWire: 表示有些 F^m 中的元素不能表示成 A 的行向量的線性組合 09/14 12:01
30F：推 AAQ8: 懂了 感謝 09/14 17:23
31F：推 kuan0908: 推 09/16 08:30