作者piskebee (蜜蜂P助)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] 线代 矩阵有解的判断
时间Thu Sep 13 08:03:32 2018
https://i.imgur.com/ECY4rKw.png
这部分看了好久还不是很懂，想请问：
Note(2) 中 rank(A) = m 时至少一解，
是包含无自由变数时的唯一解、有自由变数的无限多解，这两种情况？还是有其他的？
Note(3) 中 rank(A) = n 时至多一解，
是因为唯一解、无解，如下这样吗？
https://i.imgur.com/yyzjZss.jpg
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此外也想请问一下这样判断对不对
https://i.imgur.com/vLtJHyp.png
A: mxn
EX(1) A: 3x5, rank(A) = 3
rank(A) = m： CS(A) = F^mx1 够大，∀b 有解，至少一解
rank(A) < n： 有自由变数或无解
根据 m 再根据 n，此题为无限多解
EX(2) A: 4x3, rank(A) = 3
rank(A) < m： CS(A) != F^mx1 不够大，some b 有解，some b 无解
rank(A) = n： 至多一解，亦即有唯一解或无解
根据 m 再根据 n，此题为至多一解（有解必定为唯一解）
EX(3) A: 3x4, rank(A) = 2
rank(A) < m： CS(A) != F^mx1 不够大，some b 有解，some b 无解
rank(A) < n： 有自由变数或无解
根据 m 再根据 n，此题为 some b 因 x 有自由变数而无限多解，some b 则无解
先谢谢各位
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1F：推 eggy1018: 就Amxn来说，若是rank=n时称作full column rank,此时A 09/13 08:21
2F：→ eggy1018: 的row在做消去法的同时若出现一个「非零值=0」则「无解 09/13 08:21
3F：→ eggy1018: 」，反之就是「0=0」，所以有「唯一解」 09/13 08:21
4F：推 eggy1018: Rank = m则称为full row rank, 此时「不可能会有0=0」 09/13 08:24
5F：→ eggy1018: 产生，要考虑的是在消去法的同时会产生多少的free varia 09/13 08:24
6F：→ eggy1018: ble, 所以宏观而言，如果rank = m < n就无限多组解，因 09/13 08:25
7F：→ eggy1018: 为必有free variable 出现 09/13 08:25
8F：推 eggy1018: 无解 》消去法过程中非零值 = 0 / 无限多组解〉有自由 09/13 08:28
9F：→ eggy1018: 变数出现（rank(A)< n) 09/13 08:28
10F：推 eggy1018: 最後你写唯一解跟无限多解的方式都是对的，至於在看例题 09/13 08:32
11F：→ eggy1018: 的时候建议从rank & 消去法下手，以上有错还请告知 09/13 08:32
所以是以下这样的意思吗？
rank = m < n 时
因消去法後有自由变数，无限多解
rank = n < m
消去法後
可能造成 Ax=b 之某列为 0=非零，即无解
也可能 Ax=b 之某列为 0=0，即唯一解
（总觉得这边我的想法还在第一章 XD）
12F：推 KWire: 如果把 A 看成一个 F^n 到 F^m 的线性转换 09/13 11:16
13F：→ KWire: 每个 F^m 里面的东西都有解，表示是 A 是 onto 09/13 11:17
14F：→ KWire: 所以 A 的值空间就要是 F^m，维度就要一样 09/13 11:17
所以 dim(R(A)) = m
rank(A) = m
15F：→ KWire: 每个 F^m 里面的东西至多一解表示 A 至少是 1-1 09/13 11:18
请问这句能在解释详细一点吗？至少的意思是？
目前只想得到 F^m 至多一解，就是唯一解和无解
而唯一解就是一个点对过去一个点，无解就是没有点对过去
16F：推 KWire: 值空间的维度至少要是 n，但线转不会升维度，所以只能是 n 09/13 11:19
17F：→ silence0925: 感谢楼上大大的讲解 但不太懂为什麽线转不会升维度 09/13 11:40
18F：→ silence0925: 能说得详细一点吗 09/13 11:40
19F：推 KWire: 假设 n 维定义域的值空间升到 n + k 维 09/13 12:08
20F：→ KWire: 把那组 n + k 维基底 T(x1) … T(x_{n + k}) 找出来 09/13 12:08
21F：推 KWire: 写下 线组=0 iff 系数全0 并把线性组合通通塞回 T 里面 09/13 12:11
22F：推 KWire: 发现这个 n 维空间居然有元素数 n + k 的线性独立集，矛盾 09/13 12:14
23F：推 KWire: 或有非零元素被送到0，那值空间显然不可能比n维大，也矛盾 09/13 12:19
※ 编辑: piskebee (106.105.90.47), 09/13/2018 13:39:36
24F：推 eggy1018: 感谢K大分享新观点 09/13 13:12
25F：推 meokay: Full row rank ：1 or 无限多 ; Full column rank : 0 or 09/13 20:56
26F：→ meokay: 1 09/13 20:56
27F：推 AAQ8: 不好意思想问一下，CS(A) != F^mx1 不够大，some b 有解，so 09/14 11:18
28F：→ AAQ8: me b 无解，为什麽不够大就会导致有些b有解有些b无解 09/14 11:18
29F：推 KWire: 表示有些 F^m 中的元素不能表示成 A 的行向量的线性组合 09/14 12:01
30F：推 AAQ8: 懂了 感谢 09/14 17:23
31F：推 kuan0908: 推 09/16 08:30