※ 引述《mdpming (紅艦鳴是 豕者)》之銘言： : ※ 引述《iyenn (曉風)》之銘言： : : Let y=vu : : y'=v'u+vu' : : y''=v''u+2v'u'+vu'' : : ->v''u+2v'u'+vu''+(2e^x-1)(v'u+vu')+e^2xuv=0 : : ->uv''+(2u'+(2e^x-1)u)v'+(u''+(2e^x-1)u'+e^2xu)v : : pick u=e^(-e^x+(1/2)x) : : ->v''-1/4v=0 : : v=c1e^1/2x+c2e^-1/2x : : y=e^(-e^x)(c1e^x+c2) : 這種解法 就是 : 1 2 1 : Q - ---P - ---P' = C ... : 4 2 : 因變數變換法 : 所以看到二階變係數ode都可以直接用i大這解法 不用貝公式嗎 : 但是這應該有什麼條件不能用才對 : 因為要用字變數變換解 : 像 : 1 2 1 : Q - ---P - ---P' 不等於 C 之類的.. : 4 2 : 趁這一題把觀念弄清楚~"~ 背公式前不忘推導 y = y(x)φ(x) y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x) y(x)φ''(x) + (2y' + P(x)y)φ' + ( y'' + P(x)y' + Q(x)y )φ = R(x) (1) (2) 基本上你可以由這個式子看到兩種解法 (1) = 0 ， (2) = 0 任選一 阿我們常常說的因變數變換其實就是 (1) = 0 -∫P(x)/2 dx (1)可以解出 y = e 然後帶回原式 y'' + P(x)y' + Q(x)y R(x) φ'' + ( ─────────── )φ = ── y(x) y(x) y'' + P(x)y' + Q(x)y 看一下 φ = ─────────── y(x) -∫P(x)/2 dx P(x) y' = e ( - ── ) 2 -∫P(x)/2 dx P(x) 2 -∫P(x)/2 dx P'(x) y'' = e ( - ──) + e (- ──) 2 2 P(x) 2 P(x)' P(x) ω = (- ──) + (- ── ) + (- ───) P(x) + Q(x) 2 2 2 2 P'(x) P(x) = - ── - ──── + Q(x) 2 4 R(x) φ'' + ( ω )φ = ── y(x) C 看到這種二階常微分，當然令 ω = C or ── 常係數，Cauchy - Euler 這種比較好! x^2 阿你也可以不用是 C/x^2 或者 C 反正新的二階ODE你要解的出來就好了XDDD -- --

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