作者pudin2008 (我是胖丁)
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標題Re: [理工] [工數]-高階ODE
時間Thu Jan 7 19:09:36 2010
: t
: 令x=e 則
: 3
: x y'''=Dt(Dt-1)(Dt-2)y
: 2
: x y''=Dt(Dt-1)y
: xy'=Dty
: d
: 其中Dt=-----
: dt
: 原式可改為{Dt(Dt-1)(Dt-2)-4Dt(Dt-1)+8Dt-8}y=4t
: 3 2
: =>(Dt -7Dt +14Dt-8)y=4t
: =(Dt-1)(Dt-2)(Dt-4)y=4t
: t 2t 4t
: 齊性解yh=Ae +Be +Ce
令 yp=At+B 帶回ode 比較係數
14A-8(At+B)=4t
A=-1/2 B=-7/8 yp=-1/2t -7/8
個人認為這樣解好像比逆算子快 XD 算起來失誤率應該是0
: 1 -1 -7
: 特解yp=-------------------4t=(---- + ----Dt + .....)4t <==馬克勞琳展開
: 3 2 8 32
: (Dt -7Dt +14Dt-8)
: -1 -7
: =----t+ -----
: 2 8
: 解y=yh+yp
: 將t=lnx帶回可得解答
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◆ From: 123.192.211.80
※ 編輯: pudin2008 來自: 123.192.211.80 (01/07 19:14)
1F：→ birdhackor:其實逆運算子真的在做的事情跟這個一樣~只是寫的數學點 01/07 22:08
2F：→ doom8199:不一樣吧，逆運算子是直接把積分結果算出來 01/07 23:05
3F：→ doom8199:當公式在背而已。 未定係數法則是 try 解的型態 01/07 23:06
4F：→ birdhackor:基本上逆運算子有兩個部份 第一個部份是積分型態 01/07 23:13
5F：→ birdhackor:第二個部份是公式 這些公式大部分是代定係數法的結論 01/07 23:14
6F：→ birdhackor:就像上面我用的公式的證明其實也是用代定係數法 01/07 23:15
7F：→ birdhackor:積分型態的逆運算子跟代定係數結論很容易分 01/07 23:16
8F：→ birdhackor:像是那種可以把D換數字的幾乎都是代定係數的結論 01/07 23:16
9F：→ birdhackor:而我用到的展馬克勞林其實你仔細看 過程跟代定係數其實 01/07 23:17
10F：→ birdhackor:是類似的~ 01/07 23:17
11F：→ doom8199:可以問 b大一個問題嗎@@? 為何 1/(1-D) 01/07 23:39
12F：→ doom8199:可以寫成 1 + D + D^2 + D^3 + ... 01/07 23:40
13F：→ boy210637:降冪除吧 沒記錯的話 01/07 23:53
14F：→ doom8199:為何可以這樣除? 我無法理解它跟未定係數有何關係 01/07 23:57
15F：→ doom8199:若這兩個運算子是等價的，那 [1/(1-D)]e^x 01/07 23:57
16F：→ doom8199:套用 1 + D + D^2 + D^3 + ... ,再處理發散級數 01/07 23:58
17F：→ doom8199:算出來會是齊性解，而非特解 01/07 23:59
18F：→ doom8199:表示兩者 operator 不等價，但為何有時候還能這樣除? 01/07 23:59
19F：推 iyenn:大哥是對的, 01/08 00:01
20F：→ boy210637:老實說我沒學逆運算= = 所以我也不知道為什麼可以這樣 01/08 00:18
21F：→ boy210637:只是上課時聽老師特別說要降冪 01/08 00:19
22F：→ birdhackor:這是把D當成代數運算子展成馬克勞林 01/08 00:30
23F：→ birdhackor:而展成馬克勞林後 並不是要處理級數 而是繼續把它當成 01/08 00:33
24F：→ birdhackor:微分運算子 也就是說 只是把積分器轉為微分器 01/08 00:33
25F：→ birdhackor:至於這個方法跟代定係數的關係 這個方法只是有類似處 01/08 00:33
26F：→ birdhackor:不完全相同 我說的代定係數結論 是說可以把D換成數字的 01/08 00:34
27F：→ birdhackor:那幾條公式 像是e^2x/L(D)=e^2x/L(2) 這條 你可以推看 01/08 00:35
28F：→ birdhackor:看 這條的推導就是使用代定係數 發現會等價 01/08 00:35
29F：→ birdhackor:還有 這個算出來的會是特解 因為他處理的是R(x)項 01/08 00:36
30F：→ birdhackor:另外[1/(1-D)]e^x不可以換成1 + D + D^2 + D^3 + ... 01/08 00:42
31F：→ birdhackor:之所以我這裡可以這樣換 是因為R(x)是多項式 後面微光 01/08 00:42
32F：→ birdhackor:不需要處理 e^x微不掉 不能展馬克勞林 01/08 00:43
33F：推 doom8199:e^2x/L(D)=e^2x/L(2) 這個我會証，我不問題不再這 01/08 00:47
34F：→ doom8199:而是為何可以這樣展開? 01/08 00:48
35F：→ birdhackor:把它當成代數符號去處理就可以 解高階ODE時你會把d/dx 01/08 00:49
36F：→ birdhackor:換成p 跟這個意思是一樣的 當然 中間有很多純數的問題 01/08 00:49
37F：→ birdhackor:會需要很深的理論證明 基本上 會用這種方式展開 是因為 01/08 00:50
38F：→ birdhackor:後面是多項式才可以 像exp就微不掉 01/08 00:53
40F：→ doom8199:而且為何只限於 多項式才能展開? 01/08 00:56
41F：→ birdhackor:不是說只有多項式可以展開 是說只有多項式我們才會這樣 01/08 00:57
42F：→ birdhackor:做 你想想 要是展開比不展更麻煩 誰那麼無聊?我又不是 01/08 00:58
43F：→ birdhackor:在研究數學 這畢竟只是工具 當然是好用的才用 01/08 00:58
44F：→ birdhackor:#1BGYyuAY那篇 跟逆運算子的原理是有差的 01/08 00:58
45F：→ birdhackor:他的作法我沒看很仔細 大概看了看 他還是在處理微分 01/08 00:59
46F：→ birdhackor:好像沒用到1/L(D) 01/08 00:59
47F：→ doom8199:所以我的問題在於那個展開要如何證明 OTZ 01/08 01:00
48F：→ doom8199:如何由 L(D)y = f(x) 出發去証? 01/08 01:01
49F：→ doom8199:若假設 f(x) 是多項式好了 01/08 01:01
50F：→ birdhackor:我之前有看過1/L(D)的整個證明~我找找 01/08 01:04
51F：推 doom8199:拜託了QQ , 這個問題困擾我很久了說XD 01/08 01:05
52F：→ doom8199:我雖然會用逆運算子，可是有些東西都証不出來 OTZ 01/08 01:07
53F：→ birdhackor:找不到了= =有緣看到再分享吧 01/08 01:41
54F：推 iyenn:我也很期待說>"< 01/08 01:41
55F：→ iyenn:睡覺去~~ 01/08 01:42
56F：→ doom8199:=.= , 丟到 math 版問，我猜大概會生出很多我看不懂 01/08 01:50
57F：→ doom8199:的文章 QQ 01/08 01:50
59F：→ doom8199:這篇跟我想問的不一樣的說~~ 01/08 02:08