作者pudin2008 (我是胖丁)
看板Grad-ProbAsk
标题Re: [理工] [工数]-高阶ODE
时间Thu Jan 7 19:09:36 2010
: t
: 令x=e 则
: 3
: x y'''=Dt(Dt-1)(Dt-2)y
: 2
: x y''=Dt(Dt-1)y
: xy'=Dty
: d
: 其中Dt=-----
: dt
: 原式可改为{Dt(Dt-1)(Dt-2)-4Dt(Dt-1)+8Dt-8}y=4t
: 3 2
: =>(Dt -7Dt +14Dt-8)y=4t
: =(Dt-1)(Dt-2)(Dt-4)y=4t
: t 2t 4t
: 齐性解yh=Ae +Be +Ce
令 yp=At+B 带回ode 比较系数
14A-8(At+B)=4t
A=-1/2 B=-7/8 yp=-1/2t -7/8
个人认为这样解好像比逆算子快 XD 算起来失误率应该是0
: 1 -1 -7
: 特解yp=-------------------4t=(---- + ----Dt + .....)4t <==马克劳琳展开
: 3 2 8 32
: (Dt -7Dt +14Dt-8)
: -1 -7
: =----t+ -----
: 2 8
: 解y=yh+yp
: 将t=lnx带回可得解答
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 123.192.211.80
※ 编辑: pudin2008 来自: 123.192.211.80 (01/07 19:14)
1F：→ birdhackor:其实逆运算子真的在做的事情跟这个一样~只是写的数学点 01/07 22:08
2F：→ doom8199:不一样吧，逆运算子是直接把积分结果算出来 01/07 23:05
3F：→ doom8199:当公式在背而已。 未定系数法则是 try 解的型态 01/07 23:06
4F：→ birdhackor:基本上逆运算子有两个部份 第一个部份是积分型态 01/07 23:13
5F：→ birdhackor:第二个部份是公式 这些公式大部分是代定系数法的结论 01/07 23:14
6F：→ birdhackor:就像上面我用的公式的证明其实也是用代定系数法 01/07 23:15
7F：→ birdhackor:积分型态的逆运算子跟代定系数结论很容易分 01/07 23:16
8F：→ birdhackor:像是那种可以把D换数字的几乎都是代定系数的结论 01/07 23:16
9F：→ birdhackor:而我用到的展马克劳林其实你仔细看 过程跟代定系数其实 01/07 23:17
10F：→ birdhackor:是类似的~ 01/07 23:17
11F：→ doom8199:可以问 b大一个问题吗@@? 为何 1/(1-D) 01/07 23:39
12F：→ doom8199:可以写成 1 + D + D^2 + D^3 + ... 01/07 23:40
13F：→ boy210637:降幂除吧 没记错的话 01/07 23:53
14F：→ doom8199:为何可以这样除? 我无法理解它跟未定系数有何关系 01/07 23:57
15F：→ doom8199:若这两个运算子是等价的，那 [1/(1-D)]e^x 01/07 23:57
16F：→ doom8199:套用 1 + D + D^2 + D^3 + ... ,再处理发散级数 01/07 23:58
17F：→ doom8199:算出来会是齐性解，而非特解 01/07 23:59
18F：→ doom8199:表示两者 operator 不等价，但为何有时候还能这样除? 01/07 23:59
19F：推 iyenn:大哥是对的, 01/08 00:01
20F：→ boy210637:老实说我没学逆运算= = 所以我也不知道为什麽可以这样 01/08 00:18
21F：→ boy210637:只是上课时听老师特别说要降幂 01/08 00:19
22F：→ birdhackor:这是把D当成代数运算子展成马克劳林 01/08 00:30
23F：→ birdhackor:而展成马克劳林後 并不是要处理级数 而是继续把它当成 01/08 00:33
24F：→ birdhackor:微分运算子 也就是说 只是把积分器转为微分器 01/08 00:33
25F：→ birdhackor:至於这个方法跟代定系数的关系 这个方法只是有类似处 01/08 00:33
26F：→ birdhackor:不完全相同 我说的代定系数结论 是说可以把D换成数字的 01/08 00:34
27F：→ birdhackor:那几条公式 像是e^2x/L(D)=e^2x/L(2) 这条 你可以推看 01/08 00:35
28F：→ birdhackor:看 这条的推导就是使用代定系数 发现会等价 01/08 00:35
29F：→ birdhackor:还有 这个算出来的会是特解 因为他处理的是R(x)项 01/08 00:36
30F：→ birdhackor:另外[1/(1-D)]e^x不可以换成1 + D + D^2 + D^3 + ... 01/08 00:42
31F：→ birdhackor:之所以我这里可以这样换 是因为R(x)是多项式 後面微光 01/08 00:42
32F：→ birdhackor:不需要处理 e^x微不掉 不能展马克劳林 01/08 00:43
33F：推 doom8199:e^2x/L(D)=e^2x/L(2) 这个我会证，我不问题不再这 01/08 00:47
34F：→ doom8199:而是为何可以这样展开? 01/08 00:48
35F：→ birdhackor:把它当成代数符号去处理就可以 解高阶ODE时你会把d/dx 01/08 00:49
36F：→ birdhackor:换成p 跟这个意思是一样的 当然 中间有很多纯数的问题 01/08 00:49
37F：→ birdhackor:会需要很深的理论证明 基本上 会用这种方式展开 是因为 01/08 00:50
38F：→ birdhackor:後面是多项式才可以 像exp就微不掉 01/08 00:53
40F：→ doom8199:而且为何只限於 多项式才能展开? 01/08 00:56
41F：→ birdhackor:不是说只有多项式可以展开 是说只有多项式我们才会这样 01/08 00:57
42F：→ birdhackor:做 你想想 要是展开比不展更麻烦 谁那麽无聊?我又不是 01/08 00:58
43F：→ birdhackor:在研究数学 这毕竟只是工具 当然是好用的才用 01/08 00:58
44F：→ birdhackor:#1BGYyuAY那篇 跟逆运算子的原理是有差的 01/08 00:58
45F：→ birdhackor:他的作法我没看很仔细 大概看了看 他还是在处理微分 01/08 00:59
46F：→ birdhackor:好像没用到1/L(D) 01/08 00:59
47F：→ doom8199:所以我的问题在於那个展开要如何证明 OTZ 01/08 01:00
48F：→ doom8199:如何由 L(D)y = f(x) 出发去证? 01/08 01:01
49F：→ doom8199:若假设 f(x) 是多项式好了 01/08 01:01
50F：→ birdhackor:我之前有看过1/L(D)的整个证明~我找找 01/08 01:04
51F：推 doom8199:拜托了QQ , 这个问题困扰我很久了说XD 01/08 01:05
52F：→ doom8199:我虽然会用逆运算子，可是有些东西都证不出来 OTZ 01/08 01:07
53F：→ birdhackor:找不到了= =有缘看到再分享吧 01/08 01:41
54F：推 iyenn:我也很期待说>"< 01/08 01:41
55F：→ iyenn:睡觉去~~ 01/08 01:42
56F：→ doom8199:=.= , 丢到 math 版问，我猜大概会生出很多我看不懂 01/08 01:50
57F：→ doom8199:的文章 QQ 01/08 01:50
59F：→ doom8199:这篇跟我想问的不一样的说~~ 01/08 02:08