※ 引述《MilkerMdot (緣投阿琳)》之銘言： : 題目 : F(S)= exp(-s^1/2) : 求拉氏反轉換 : 如果能用複變線積分的算法算出來就更好了 : 我同學說 可以用複變算出來 他要叫我老爸 : 謝謝 --- -√s e^(-√s) F(s) F(s) = e → F'(s) = ──── = ──── -2√s -2√s F'(s) 1 → ─── = ─── _____(1) F(s) -2√s F''(s) [F'(s)]^2 1 → ──── - ───── = ─── F(s) [F(s)]^2 4s√s ( 將 (1)式代入上式 , 藉此消去 √s ) F''(s) 1 F'(s) → ──── - ── = ──── F(s) 4s -2sF(s) → 4sF''(s) + 2F'(s) - F(s) = 0 → L{ 4*[(t^2)f(t)]' - 2tf(t) - f(t) } = 0 → 4*[(t^2)f(t)]' - 2tf(t) - f(t) = 0 → 4(t^2)f'(t) + (6t-1)f(t) = 0 4 1 - 6t → ─── d[f(t)] = ─── dt f(t) t^2 → 4*ln｜f(t)｜ = -1/t - 6ln｜t｜ + 4*c1 -3/2 -1/(4t) → f(t) = c2*t * e , where c2 = e^(c1) 接著求 c1: f(t) s*F(s) lim ───── = lim ────── by Final Value Theorem t→∞ t^(-3/2) s→0+ s*L{t^(-3/2)} F(s) = lim ───── s→0+ -2√(πs) F(s) / (-2√s) = lim ──────── by L' Hospital's Rule s→0+ -2√π / (2√s) 1 = ─── ( 注意 F(0+) = 1 ) 2√π -1/(4t) 1 1 即 lim c2*e = ─── → c2 = ─── t→∞ 2√π 2√π 1 -3/2 -1/(4t) 因此 f(t) = ─── * t * e 2√π ------ 這題我覺得不太可能直接用複變去解 　　因為 e^(-√z) is analytic for all z 屬於 C 沒有 pole 可以讓你包 　　且外圍線積分也不會因為 region 擴大使的定積分值收斂至 0 除非事先求 g(s) = e^(-√s) / s^k 之類的的 ILT (用複變解) 然後再跟 f(s) 做 linking 若是直接用 ILT 的公式硬幹的話: 1 a+i∞ -√s st f(t) = ── ∫ e * e ds , where s = a+bi 2πi a-i∞ ( set s^(1/2) = ir ) 1 (-a-i∞)^(1/2) -ir -tr^2 = ── ∫ e * e -2r dr 2πi (-a+i∞)^(1/2) -1 -t*(r + i/2t)^2 -1/4t = ── ∫ e * e r dr πi C 2 2 e^(-1/4t) -t*(r + i/2t) i -t*(r + i/2t) = ──── *[∫ e (r+i/2t) dr - ──∫ e dr] -πi C 2t C e^(-1/4t) i √π = ──── *[ 0 - ── * ─── ] ____ (2) -πi 2t √t e^(-1/4t) 1 = ──── * ─── 2√π t^(3/2) (2) 式我直接把積分區間當成正負無窮大去解 　　所以直接套結論 OTZ 理論上應該要照著積分路徑去積分 　　只是把實虛部分開算，計算過程會很醜 　　有算錯別怪我 QQ --

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