※ 引述《MilkerMdot (缘投阿琳)》之铭言： : 题目 : F(S)= exp(-s^1/2) : 求拉氏反转换 : 如果能用复变线积分的算法算出来就更好了 : 我同学说 可以用复变算出来 他要叫我老爸 : 谢谢 --- -√s e^(-√s) F(s) F(s) = e → F'(s) = ──── = ──── -2√s -2√s F'(s) 1 → ─── = ─── _____(1) F(s) -2√s F''(s) [F'(s)]^2 1 → ──── - ───── = ─── F(s) [F(s)]^2 4s√s ( 将 (1)式代入上式 , 藉此消去 √s ) F''(s) 1 F'(s) → ──── - ── = ──── F(s) 4s -2sF(s) → 4sF''(s) + 2F'(s) - F(s) = 0 → L{ 4*[(t^2)f(t)]' - 2tf(t) - f(t) } = 0 → 4*[(t^2)f(t)]' - 2tf(t) - f(t) = 0 → 4(t^2)f'(t) + (6t-1)f(t) = 0 4 1 - 6t → ─── d[f(t)] = ─── dt f(t) t^2 → 4*ln｜f(t)｜ = -1/t - 6ln｜t｜ + 4*c1 -3/2 -1/(4t) → f(t) = c2*t * e , where c2 = e^(c1) 接着求 c1: f(t) s*F(s) lim ───── = lim ────── by Final Value Theorem t→∞ t^(-3/2) s→0+ s*L{t^(-3/2)} F(s) = lim ───── s→0+ -2√(πs) F(s) / (-2√s) = lim ──────── by L' Hospital's Rule s→0+ -2√π / (2√s) 1 = ─── ( 注意 F(0+) = 1 ) 2√π -1/(4t) 1 1 即 lim c2*e = ─── → c2 = ─── t→∞ 2√π 2√π 1 -3/2 -1/(4t) 因此 f(t) = ─── * t * e 2√π ------ 这题我觉得不太可能直接用复变去解 　　因为 e^(-√z) is analytic for all z 属於 C 没有 pole 可以让你包 　　且外围线积分也不会因为 region 扩大使的定积分值收敛至 0 除非事先求 g(s) = e^(-√s) / s^k 之类的的 ILT (用复变解) 然後再跟 f(s) 做 linking 若是直接用 ILT 的公式硬干的话: 1 a+i∞ -√s st f(t) = ── ∫ e * e ds , where s = a+bi 2πi a-i∞ ( set s^(1/2) = ir ) 1 (-a-i∞)^(1/2) -ir -tr^2 = ── ∫ e * e -2r dr 2πi (-a+i∞)^(1/2) -1 -t*(r + i/2t)^2 -1/4t = ── ∫ e * e r dr πi C 2 2 e^(-1/4t) -t*(r + i/2t) i -t*(r + i/2t) = ──── *[∫ e (r+i/2t) dr - ──∫ e dr] -πi C 2t C e^(-1/4t) i √π = ──── *[ 0 - ── * ─── ] ____ (2) -πi 2t √t e^(-1/4t) 1 = ──── * ─── 2√π t^(3/2) (2) 式我直接把积分区间当成正负无穷大去解 　　所以直接套结论 OTZ 理论上应该要照着积分路径去积分 　　只是把实虚部分开算，计算过程会很丑 　　有算错别怪我 QQ --

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