※ 引述《honestonly (嗯..)》之銘言： : (3) : ∞ cosxt : Find the Laplace transform of the given function ∫ -------dx : 0 1+x^2 : π : 答案是 ------- : 2(s+1) : 我的算法是先把那個function令成I 且積分區間換成-∞到∞ 然後取留數 : π : 計算出I值以後是 ----cosht 然後取拉式轉換 跟答案不一樣 哭哭 : 2 : p.s.第三題 我令cosxt=e^ixt 之後取實部 計算答案會一樣 : 但是為什麼直接用cosxt算就不行?? --- 考慮定積分 cos(tz) R cos(tx) cos(tz) ∮ ──── dz = ∫ ──── dx + ∫ ──── dz c 1 + z^2 -R 1 + x^2 c1 1 + z^2 其中 c1: 由 z=R ，經 |z|=R , 逆時針旋轉，抵達 z=-R 的路徑 這裡要注意的是 當 R→∞ , 右邊那項積分並不是0 1 itz -itz 因為: cos(tz) = ___[ e + e ] 2 1 it(a+bi) -it(a+bi) = ___[ e + e ] for z=a+bi 2 1 (-tb + ita) (tb - ita) = ___[ e + e ] 2 可以注意到 cos(tz) 含有 e^(tb) 、 e^(-tb) 等因素 所以當 R→∞ , 右邊那團積分就不能保證是 0 (回想一下當時在證明那團積分=0時 , 是如何用 ML-Ineuqality 來 approach) --- 所以 變成是要考慮以下定積分: e^(itz) R e^(itx) e^(itz) ∮ ──── dz = ∫ ──── dx + ∫ ──── dz c 1 + z^2 -R 1 + x^2 c1 1 + z^2 分析一下右邊那個積分: e^(itz) 1 ｜∫ ──── dz｜ ≦ ────── * πR by ML-Inequality c1 1 + z^2 　 ｜1 + z^2｜ 1 ≦ ────── * πR 　 ｜z^2｜ - 1 πR = ──── 　R^2 - 1 所以當 R→∞ , 那項積分 "的絕對值" 會趨近於 0 (至於它怎麼趨近不是重點，重點是那項會 vanish 就好) 因此可以得到 ∞ e^(itx) e^(itz) ∫ ──── dx = ∮ ──── dz -∞ 1 + x^2 1 + z^2 = 2πi * Σ Res{ f(z) , z } at all poles in u.h.p. e^(-t) = 2πi * ─── 2i = πe^(-t) 也就是原始積分 : ∞ cos(tx) 1 ∫ ──── dx = ___ Re{ πe^(-t) } 0 1 + x^2 2 π = ___ e^(-t) 2 (π/2) 　 即它的 Laplace Transform 是 _______ s + 1 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.141.151 ※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (12/20 21:45)