※ 引述《honestonly (嗯..)》之铭言： : (3) : ∞ cosxt : Find the Laplace transform of the given function ∫ -------dx : 0 1+x^2 : π : 答案是 ------- : 2(s+1) : 我的算法是先把那个function令成I 且积分区间换成-∞到∞ 然後取留数 : π : 计算出I值以後是 ----cosht 然後取拉式转换 跟答案不一样 哭哭 : 2 : p.s.第三题 我令cosxt=e^ixt 之後取实部 计算答案会一样 : 但是为什麽直接用cosxt算就不行?? --- 考虑定积分 cos(tz) R cos(tx) cos(tz) ∮ ──── dz = ∫ ──── dx + ∫ ──── dz c 1 + z^2 -R 1 + x^2 c1 1 + z^2 其中 c1: 由 z=R ，经 |z|=R , 逆时针旋转，抵达 z=-R 的路径 这里要注意的是 当 R→∞ , 右边那项积分并不是0 1 itz -itz 因为: cos(tz) = ___[ e + e ] 2 1 it(a+bi) -it(a+bi) = ___[ e + e ] for z=a+bi 2 1 (-tb + ita) (tb - ita) = ___[ e + e ] 2 可以注意到 cos(tz) 含有 e^(tb) 、 e^(-tb) 等因素 所以当 R→∞ , 右边那团积分就不能保证是 0 (回想一下当时在证明那团积分=0时 , 是如何用 ML-Ineuqality 来 approach) --- 所以 变成是要考虑以下定积分: e^(itz) R e^(itx) e^(itz) ∮ ──── dz = ∫ ──── dx + ∫ ──── dz c 1 + z^2 -R 1 + x^2 c1 1 + z^2 分析一下右边那个积分: e^(itz) 1 ｜∫ ──── dz｜ ≦ ────── * πR by ML-Inequality c1 1 + z^2 　 ｜1 + z^2｜ 1 ≦ ────── * πR 　 ｜z^2｜ - 1 πR = ──── 　R^2 - 1 所以当 R→∞ , 那项积分 "的绝对值" 会趋近於 0 (至於它怎麽趋近不是重点，重点是那项会 vanish 就好) 因此可以得到 ∞ e^(itx) e^(itz) ∫ ──── dx = ∮ ──── dz -∞ 1 + x^2 1 + z^2 = 2πi * Σ Res{ f(z) , z } at all poles in u.h.p. e^(-t) = 2πi * ─── 2i = πe^(-t) 也就是原始积分 : ∞ cos(tx) 1 ∫ ──── dx = ___ Re{ πe^(-t) } 0 1 + x^2 2 π = ___ e^(-t) 2 (π/2) 　 即它的 Laplace Transform 是 _______ s + 1 --

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