以上是我很久以前導的旋度定理 但有人說我錯很大 他說以下有式子不能無緣無故消去，我也覺得很奇怪， 我是哪裡推導錯誤了呢? ※ [本文轉錄自 Physics 看板] 作者: ntust661 (661) 看板: Physics 標題: Re: [問題] 請問梯度 散度 和旋度的最初定義 時間: Wed Dec 2 00:37:01 2009 來講旋度 純粹討論二維度的旋度 旋度，代表的是 (1)環流密度 (2)向量場的旋轉趨勢。 在向量場中，我要開始找他的"旋度" 那要如何判別渦漩的大小呢? 就是看他一整圈流量積分(Flow)的大小而定 Flow Integral → → ∫ F ‧ T ds = 流量大小 c F 向量場 T 單位切線向量 ds 微小的曲線段 c 積分路徑 它的物理意義， 你想想看，水槽開始放水，你在水流中想像一個圓圈， 是不是大部分(幾乎)的水流都會與你的圓圈"相切"呢? 再想一個，水龍頭的水往下落，到水槽的時候，會往外散開 你想像一個圓圈，會發現水的流向與圓圈不相切(大部分是互相垂直)， 這時候是不是沒有看到水在"旋轉"呢? 這時候看看流量原始的定義，我既然是與曲線相切的方向才會保留下來 那保留下來的越多，代表順著曲線的流量越大， 現在把曲線封起來成一個封閉曲線。是不是發現，流量越大，轉的趨勢會越大。 現在，"旋度"這個東西我要從以上所描述的意義開始導出他的樣子。 目標 : 計算旋度 (Curl) 已知 (1) 左下角我設為原點(x,y) (2) 微小單位的長度代表 Δx ，寬度代表 Δy (3) 向量場 F = < P(x,y) i + Q(x,y) j > (4) 逆時針為正 圖形 ← (x,y+Δy) (x+Δx,y+Δy) ┌───┐ │ │Δy ↓ │ │ ↑ └───┘ (x,y) Δx (x+Δx,y) → 很簡單，既然是個不平滑的曲線，就分段來做。 Flow 總流量 會等於以下的總和。 total -------------------------- Flow 頂部的流量 top + Flow 底部的流量 bottom + Flow 左邊的流量 left + Flow 右邊的流量 right --------------------------- 先計算底部流量 定義 → → ∫ F‧T ds c 現在曲線 c 是條直線，然後因為 i 方向與底線平行，所以只留下 i 方向 P 則底部的流量 = P(x,y) Δx 其他依此類推 得到 底部流量 P(x,y) Δx 頂部流量 - P(x+Δx,y+Δy)Δx 右邊流量 Q(x+Δx,y) Δy 左邊流量 - Q(x,y+Δy)Δy 放一起， - P(x+Δx,y+Δy) Δx + P(x,y) Δx + Q(x+Δx,y) Δy - Q(x,y+Δy) Δy 這時候 加 P(x,y+Δy) 減 P(x,y+Δy) 加 Q(x+Δx,y+Δy) 減 Q(x+Δx,y+Δy) 會變成 d P d P d Q d Q ( - ─── Δx - ─── Δy ) Δx + ( ─── Δx - ─── Δy ) Δy d x d y d x d y Δx 逼近趨近於零變成 dx Δy 逼近趨近於零變成 dy dxdx dydy 的項 小到不能在小...所以消掉。 剩下的就會變成 d Q d P ( ─── - ─── ) dx dy d x d y 這時候除以微小面積 dA = dx dy 就會變成你原本單純積分出來環流除面積 = 環流密度 環流密度也就是旋度， 所以你大概可以知道旋度的意義了吧? PS 有很多我還沒有說，現階段知道這些就夠了吧@.@~ -- --

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