以上是我很久以前导的旋度定理 但有人说我错很大 他说以下有式子不能无缘无故消去，我也觉得很奇怪， 我是哪里推导错误了呢? ※ [本文转录自 Physics 看板] 作者: ntust661 (661) 看板: Physics 标题: Re: [问题] 请问梯度 散度 和旋度的最初定义 时间: Wed Dec 2 00:37:01 2009 来讲旋度 纯粹讨论二维度的旋度 旋度，代表的是 (1)环流密度 (2)向量场的旋转趋势。 在向量场中，我要开始找他的"旋度" 那要如何判别涡漩的大小呢? 就是看他一整圈流量积分(Flow)的大小而定 Flow Integral → → ∫ F ‧ T ds = 流量大小 c F 向量场 T 单位切线向量 ds 微小的曲线段 c 积分路径 它的物理意义， 你想想看，水槽开始放水，你在水流中想像一个圆圈， 是不是大部分(几乎)的水流都会与你的圆圈"相切"呢? 再想一个，水龙头的水往下落，到水槽的时候，会往外散开 你想像一个圆圈，会发现水的流向与圆圈不相切(大部分是互相垂直)， 这时候是不是没有看到水在"旋转"呢? 这时候看看流量原始的定义，我既然是与曲线相切的方向才会保留下来 那保留下来的越多，代表顺着曲线的流量越大， 现在把曲线封起来成一个封闭曲线。是不是发现，流量越大，转的趋势会越大。 现在，"旋度"这个东西我要从以上所描述的意义开始导出他的样子。 目标 : 计算旋度 (Curl) 已知 (1) 左下角我设为原点(x,y) (2) 微小单位的长度代表 Δx ，宽度代表 Δy (3) 向量场 F = < P(x,y) i + Q(x,y) j > (4) 逆时针为正 图形 ← (x,y+Δy) (x+Δx,y+Δy) ┌───┐ │ │Δy ↓ │ │ ↑ └───┘ (x,y) Δx (x+Δx,y) → 很简单，既然是个不平滑的曲线，就分段来做。 Flow 总流量 会等於以下的总和。 total -------------------------- Flow 顶部的流量 top + Flow 底部的流量 bottom + Flow 左边的流量 left + Flow 右边的流量 right --------------------------- 先计算底部流量 定义 → → ∫ F‧T ds c 现在曲线 c 是条直线，然後因为 i 方向与底线平行，所以只留下 i 方向 P 则底部的流量 = P(x,y) Δx 其他依此类推 得到 底部流量 P(x,y) Δx 顶部流量 - P(x+Δx,y+Δy)Δx 右边流量 Q(x+Δx,y) Δy 左边流量 - Q(x,y+Δy)Δy 放一起， - P(x+Δx,y+Δy) Δx + P(x,y) Δx + Q(x+Δx,y) Δy - Q(x,y+Δy) Δy 这时候 加 P(x,y+Δy) 减 P(x,y+Δy) 加 Q(x+Δx,y+Δy) 减 Q(x+Δx,y+Δy) 会变成 d P d P d Q d Q ( - ─── Δx - ─── Δy ) Δx + ( ─── Δx - ─── Δy ) Δy d x d y d x d y Δx 逼近趋近於零变成 dx Δy 逼近趋近於零变成 dy dxdx dydy 的项 小到不能在小...所以消掉。 剩下的就会变成 d Q d P ( ─── - ─── ) dx dy d x d y 这时候除以微小面积 dA = dx dy 就会变成你原本单纯积分出来环流除面积 = 环流密度 环流密度也就是旋度， 所以你大概可以知道旋度的意义了吧? PS 有很多我还没有说，现阶段知道这些就够了吧@.@~ -- --

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