※ 引述《sea1985 (海嗨咍)》之銘言： : 不好意思 有幾題不太懂 請有空的大大幫我解題 ^__^ : 1.回答對或錯 : The solution set of any system of m linear equations in n unknows is : a subspace of F^n. : 答案是false,因為n<m的時候 有可能no solutions? 例如說：n=3,m=4; x+y+z = 5 x+2y+3z = 7 x+3y+9z = 10 x+y+z = 8 這樣來說：就是一個無解的狀態。 : 2.Prove that if A is an invertible upper triangular matrix : then the classical adjoint of A and A^-1 are upper triangular. 這個是因為我們在矩陣的反矩陣時，我們會用[A|I]去算，那如果A是一個 upper triangular的話，那我們就只要對這個[A|I]的A去做Gauss-jordan消失去， 而如此一來的話，那A的反矩陣也就會是一個upper triangular了。 adj(A)*A = det(A) * I ==> adj(A) = det(A) * (A的反矩陣) 因為A的反矩陣為上三角 上三角乘上任何數也都還是上三角，所以得證。 : 3.Let k=\=0 be a nonzero number,show hy induct that for all positive integers n. : n : [cos(x) ksin(x)] = [cos(nx) ksin(nx)] : [(-1/k)*sin(x) cos(x)] [(-1/k)*sin(nx) cos(nx) ] 用數學歸納法證： 當n=1時，[cos(x) ksin(x)] = [cos(1x) ksin(1x)] [(-1/k)sin(x) cos(x) ] [(-1/k)sin(1x) cos(1x) ] 令n=k時成立： k [cos(x) ksin(x)] = [cos(kx) ksin(kx)] [(-1/k)sin(x) cos(x) ] [(-1/k)sin(kx) cos(kx) ] consider n=k+1： k+1 [cos(x) ksin(x)] = [cos(kx) ksin(kx)]*[cosx ksinx ] [(-1/k)sin(x) cos(x) ] [(-1/k)sin(kx) cos(kx) ] [(-1/k)sinx cosx] =[coskx*cosx-sinkx*sinx cosk(x)*ksin(x)+ksink(x)*cos(x)] [(-1/k)(sin(kx)*cosx+cos(kx)*sinx) -sin(kx)*sin(x)+cos(kx)cos(x)] 用積化合差，合差化積的方法得到 =[cos(k+1)x ksin(k+1)x] [(-1/k)sin(k+1)x cos(k+1)x] 就可以得證了。 : 4.(a)Find all real matrices A for which (A^T)A=0{A的轉置*A=0} : (b)Find all matrices B for which (B^H)B=0{A的Hermitian*A=0} 不是很確定，但我會想用長度去想 第一個是佈於實數空間中 在內積空間中，<A,A>的長度就是(A^T)A，所以A的長度為0，那A就為一個零矩陣。 第二個是佈於複數空間中 在內積空間中，<B,B>的長度就是(B^H)B，所以B的長度為0，那B就為一個零矩陣。 : 5.Prove that : (a).If A has a full row of zeros,then A has no right inverse. 因為rank(A)就一定達不到列數了，而A具右反的話，那rank(A)一定要是列數。 : (b).If A has a full column of zeros,then A has no left inverse. 因為rank(A)就一定達不到行數了，而A具左反的話，那rank(A)一定要是列數。 : (c).If A is square and either a full row or a full column of zeros,then A is : singular. 因為A去做列運算的話，那一定會有一列是為0的，此時的det(A)就會為0，當det(A)=0時 A就為一個singular matrix. : 不好意思 我自己一個人唸書 所以沒有趴惹可以問 麻煩各位大大有空幫忙解答 --

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