※ 引述《sea1985 (海嗨咍)》之铭言： : 不好意思 有几题不太懂 请有空的大大帮我解题 ^__^ : 1.回答对或错 : The solution set of any system of m linear equations in n unknows is : a subspace of F^n. : 答案是false,因为n<m的时候 有可能no solutions? 例如说：n=3,m=4; x+y+z = 5 x+2y+3z = 7 x+3y+9z = 10 x+y+z = 8 这样来说：就是一个无解的状态。 : 2.Prove that if A is an invertible upper triangular matrix : then the classical adjoint of A and A^-1 are upper triangular. 这个是因为我们在矩阵的反矩阵时，我们会用[A|I]去算，那如果A是一个 upper triangular的话，那我们就只要对这个[A|I]的A去做Gauss-jordan消失去， 而如此一来的话，那A的反矩阵也就会是一个upper triangular了。 adj(A)*A = det(A) * I ==> adj(A) = det(A) * (A的反矩阵) 因为A的反矩阵为上三角 上三角乘上任何数也都还是上三角，所以得证。 : 3.Let k=\=0 be a nonzero number,show hy induct that for all positive integers n. : n : [cos(x) ksin(x)] = [cos(nx) ksin(nx)] : [(-1/k)*sin(x) cos(x)] [(-1/k)*sin(nx) cos(nx) ] 用数学归纳法证： 当n=1时，[cos(x) ksin(x)] = [cos(1x) ksin(1x)] [(-1/k)sin(x) cos(x) ] [(-1/k)sin(1x) cos(1x) ] 令n=k时成立： k [cos(x) ksin(x)] = [cos(kx) ksin(kx)] [(-1/k)sin(x) cos(x) ] [(-1/k)sin(kx) cos(kx) ] consider n=k+1： k+1 [cos(x) ksin(x)] = [cos(kx) ksin(kx)]*[cosx ksinx ] [(-1/k)sin(x) cos(x) ] [(-1/k)sin(kx) cos(kx) ] [(-1/k)sinx cosx] =[coskx*cosx-sinkx*sinx cosk(x)*ksin(x)+ksink(x)*cos(x)] [(-1/k)(sin(kx)*cosx+cos(kx)*sinx) -sin(kx)*sin(x)+cos(kx)cos(x)] 用积化合差，合差化积的方法得到 =[cos(k+1)x ksin(k+1)x] [(-1/k)sin(k+1)x cos(k+1)x] 就可以得证了。 : 4.(a)Find all real matrices A for which (A^T)A=0{A的转置*A=0} : (b)Find all matrices B for which (B^H)B=0{A的Hermitian*A=0} 不是很确定，但我会想用长度去想 第一个是布於实数空间中 在内积空间中，<A,A>的长度就是(A^T)A，所以A的长度为0，那A就为一个零矩阵。 第二个是布於复数空间中 在内积空间中，<B,B>的长度就是(B^H)B，所以B的长度为0，那B就为一个零矩阵。 : 5.Prove that : (a).If A has a full row of zeros,then A has no right inverse. 因为rank(A)就一定达不到列数了，而A具右反的话，那rank(A)一定要是列数。 : (b).If A has a full column of zeros,then A has no left inverse. 因为rank(A)就一定达不到行数了，而A具左反的话，那rank(A)一定要是列数。 : (c).If A is square and either a full row or a full column of zeros,then A is : singular. 因为A去做列运算的话，那一定会有一列是为0的，此时的det(A)就会为0，当det(A)=0时 A就为一个singular matrix. : 不好意思 我自己一个人念书 所以没有趴惹可以问 麻烦各位大大有空帮忙解答 --

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