※ 引述《iyenn (曉風)》之銘言： : ※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之銘言： : : y'' + Qy = 0 , -L < x < L , 且 y(-L) = y(L) , y'(-L) = y'(L) : : = = : : 求 特徵值 雨 特徵函數 : : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : : 這我會 : : 但是.. : : 並判斷特徵函數是否正交.. : : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : : 我不知如何下手 有5個CASE.. : : http://www.wretch.cc/album/show.php?i=pigming&b=23&f=1508326173&p=0 : : 這是解答 詳解.. : : 請問這...該怎麼解 能放掉嗎... : : S-L 已經困擾我一天了..還是沒頭緒@@ 昨天看到這題我愣住了一下 = =明明心中念的是相異的特徵值 對應到的特徵函數相對W 為正交 可是我卻帶入 {1 sinnπ/L cosnπ/L} 為正交的座標軸想法= = 今天睡醒後清醒多了 ∞ ∞ 此題的特徵函數 有 {0 (nπ/L)} 對應到的特徵涵數{1 (c1sinnπx/L + c2cosnπx/L)} n=1 n=1 L 因為這是S-L 週期性的邊界 必定滿足 ∫ w(x)yn(x)ym(x) = 0 -L L 代入特徵涵數 ∫ (1) (1) (c1sinnπx/L + c2cosnπx/L) dx -L L L ∫ (1)c1sinnπx/L + ∫ (1) c2cosnπx/L dx = 0 -L -L 所以 1 與 sinnπx/L 1與 cosnπx/L 為正交 然後算第(c1sinnπx/L + c2cosnπx/L) 與 (c3sinmπx/L + c4cosmπx/L) 的內積 n =/= m 因為這是對應到不同eigenvalue的eigenfuntion L ∫ (c1sinnπx/L + c2cosnπx/L) (c3sinmπx/L + c4cosmπx/L) dx -L 可拆成4部份去討論 L L ∫ c1c3sinnπx/L sinmπx/L +∫ c1c4sinnπx/L cosmπx/L -L -L L L +∫ c2c3cosnπx/L sinmπx/L + ∫ c2c4cosnπx/L cosmπx/L =0 -L -L 故可知 sinnπx/L cosnπx/L sinmπx/L cosmπx/L 互為正交 : y'' + Qy = 0 -L <= x <= L , 且 y(-L) = y(L) , y'(-L) = y'(L) : let λm,λn is corresponding eigenvalue : ym,yn is corresponding eigenfunction : and : y''m+λmym=0 ...(1) : y''n+λnyn=0 ...(2) : (1)*yn-(2)ym : yny''m-ymy''n+(λm-λn)ymyn=0 : d(ynym'-ymy'n)+(λm-λn)ymyn=0 : L L : (ynym'-ymy'n)|+(λm-λn)∫ymyndx=0 : -L -L : ∵ym(-L) = ym(L) , ym'(-L) = ym'(L) : yn(-L) = yn(L) , yn'(-L) = yn'(L) : L : ∴(λm-λn)∫ymyndx=0 : -L : ∵λm≠λn : L : ∴∫ymyndx=0 : -L : imply <ym,yn>=0 at -L <= x <= L with weight function 1 --

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