※ 引述《iyenn (晓风)》之铭言： : ※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之铭言： : : y'' + Qy = 0 , -L < x < L , 且 y(-L) = y(L) , y'(-L) = y'(L) : : = = : : 求 特徵值 雨 特徵函数 : : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : : 这我会 : : 但是.. : : 并判断特徵函数是否正交.. : : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : : 我不知如何下手 有5个CASE.. : : http://www.wretch.cc/album/show.php?i=pigming&b=23&f=1508326173&p=0 : : 这是解答 详解.. : : 请问这...该怎麽解 能放掉吗... : : S-L 已经困扰我一天了..还是没头绪@@ 昨天看到这题我愣住了一下 = =明明心中念的是相异的特徵值 对应到的特徵函数相对W 为正交 可是我却带入 {1 sinnπ/L cosnπ/L} 为正交的座标轴想法= = 今天睡醒後清醒多了 ∞ ∞ 此题的特徵函数 有 {0 (nπ/L)} 对应到的特徵涵数{1 (c1sinnπx/L + c2cosnπx/L)} n=1 n=1 L 因为这是S-L 周期性的边界 必定满足 ∫ w(x)yn(x)ym(x) = 0 -L L 代入特徵涵数 ∫ (1) (1) (c1sinnπx/L + c2cosnπx/L) dx -L L L ∫ (1)c1sinnπx/L + ∫ (1) c2cosnπx/L dx = 0 -L -L 所以 1 与 sinnπx/L 1与 cosnπx/L 为正交 然後算第(c1sinnπx/L + c2cosnπx/L) 与 (c3sinmπx/L + c4cosmπx/L) 的内积 n =/= m 因为这是对应到不同eigenvalue的eigenfuntion L ∫ (c1sinnπx/L + c2cosnπx/L) (c3sinmπx/L + c4cosmπx/L) dx -L 可拆成4部份去讨论 L L ∫ c1c3sinnπx/L sinmπx/L +∫ c1c4sinnπx/L cosmπx/L -L -L L L +∫ c2c3cosnπx/L sinmπx/L + ∫ c2c4cosnπx/L cosmπx/L =0 -L -L 故可知 sinnπx/L cosnπx/L sinmπx/L cosmπx/L 互为正交 : y'' + Qy = 0 -L <= x <= L , 且 y(-L) = y(L) , y'(-L) = y'(L) : let λm,λn is corresponding eigenvalue : ym,yn is corresponding eigenfunction : and : y''m+λmym=0 ...(1) : y''n+λnyn=0 ...(2) : (1)*yn-(2)ym : yny''m-ymy''n+(λm-λn)ymyn=0 : d(ynym'-ymy'n)+(λm-λn)ymyn=0 : L L : (ynym'-ymy'n)|+(λm-λn)∫ymyndx=0 : -L -L : ∵ym(-L) = ym(L) , ym'(-L) = ym'(L) : yn(-L) = yn(L) , yn'(-L) = yn'(L) : L : ∴(λm-λn)∫ymyndx=0 : -L : ∵λm≠λn : L : ∴∫ymyndx=0 : -L : imply <ym,yn>=0 at -L <= x <= L with weight function 1 --

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