※ 引述《youmehim (哩挖伊)》之銘言： : ※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之銘言： : : 1. : : 2 2 : : x y'' + 6xy' + (6-x )y = 0 用 Frobenius 級數解.. : : 答案是 : : -3 -3 : : y = c1 x sinhx + c2 x coshx : : 可是我算是 : : -2 -3 : : y = c1 x sinx + c2 x cosx : : 有人可以幫我驗證一下嗎 : 2 2 : x y" + 6xy' + (6 - x )y = 0 : ∞ r+n ∞ r+n-1 ∞ r+n-2 : Let y = ΣCn x , y' = ΣCn(r+n)x , y" = ΣCn(r+n)(r+n-1)x : n=0 n=0 n=0 : 代入得 : ∞ r+n ∞ r+n ∞ r+n ∞ r+n+2 : ΣCn(r+n)(r+n-1)x + Σ6Cn(r+n)x + Σ6Cn x - ΣCn x = 0 : n=0 n=0 n=0 n=0 : 整理後得 : ∞ r+n ∞ r+n : ΣCn[(r+n)(r+n-1)+6(r+n)+6]x - ΣCn-2 x = 0 : n=0 n=2 : 當n=0: : 2 : C0(r +5r+6) = C0(r+2)(r+3) = 0 , 若C0≠0 , 得 r = -3 or -2 : 當n=1: : 2 : C1(r +7r+12) = C1(r+3)(r+4) = 0 , 若C1≠0 , 得 r = -4 or -3 : 二階ODE的通解應有兩個待定係數(C0≠0 , C1≠0) : 故取r解的交集可得r=-3 : 當n≧2:(r=-3代入) 原來我這一題錯在這裡 如通常題目都只要帶到 n=0 但是 有些要帶到 n=1 這題就是 我看書上解法式 n=1 那邊 取 C1=0 因為加起來要0 但是我剛剛要再看一次書本上的 再和這題比較 這題因為 n=0 和 n=1 都有一解 r=-3 所以取交集嗎 因為書上 n=0 n=1 的解 剛好都沒重複 所以 C1 = 0 我算這麼多題 都這樣 只有這題例外 真的學到東西了 但是還是有一點點不懂 就像上面所說的@@ : 1 1 1 : Cn = --------------------- Cn-2 = ------- Cn-2 = -------- Cn-2 : (n-3)(n-4)+6(n-3)+6 2 n(n-1) : n - n : 1 : = --- C0 : n! : ∞ r+n : 代入 y = ΣCn x 可得 : n=0 : -3 ∞ 1 n ∞ 1 n : y = x ( Σ C1 --- x + Σ C0 --- x ) : n=1,3… n! n=2,4… n! : 答案寫這樣就行了 : -3 : 要寫成 y = x ( C1 sinhx + C0 coshx ) : 也可以 : : 如果考試 不轉換成 sinx cosx 之類的 會被扣分嗎.. : 主要就是說除非題目明講只要寫前幾項就好 : 不然冪級數的係數若有規律就要歸納 : 歸納之後有些就是常見函數的展開式 就可以順便把他換掉啦 : 不過換不換都是可以的 : : 2. : : 2 2 : : x y'' + x y' - 2y = 0 : : 這題 過程有問題 : : r=-1 : : r= 2 : : -(n+r-1) C : : Cn = ----------------- n-1 : : [(n+r)(n+r-1)-2] : : -r : : C1 = ---------- C0 : : (r+2)(r-1) : : (r+1) : : C2 = ----------------- C0 : : (r+3)(r+2)(r-1) : : -1 (r+1) : : C3 = --------------------- C0 : : (r+4)(r+3)(r-1)(r+1) : : 當用-1 帶入 : : C3 (r+1) 我銷掉後 答案會不一樣.. : : 因為 C3 = 芭拉巴拉 * C2 : : 但是C2 = 0 : 因為r = -1 or 2 : 所以 r= -1 代入算到第 2-(-1) = 3 項 也就是C2時 會等於0 : -(n+r-1) : 事實上在列 Cn = ------------------ Cn-1 時 : [(n+r)(n+r-1)-2] : 有個前提就是分母≠0 : 假如不用除的 而是直接列出來的話 : [(n-1)(n-2)-2]Cn = -(n-2)Cn-1 : 當n=2 : -2 C2 = 0 C1 = 0 : 當n=3 : 0 C3 = C2 = 0 : 表示說C3是任意數 從C3之後就是一個跟前段無關的解 : 再繼續代下去就可以得到另一個有待定係數(C3)的解了 : : 所以之後都 = 0 : : 但是銷掉 (r+1) 就不會等於0 答案也就不一樣 : : 這時候怎麼辦..? --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.32.91.86 ※ 編輯: mdpming 來自: 114.32.91.86 (09/13 17:17) ※ 編輯: mdpming 來自: 114.32.91.86 (09/13 17:20)