※ 引述《youmehim (哩挖伊)》之铭言： : ※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之铭言： : : 1. : : 2 2 : : x y'' + 6xy' + (6-x )y = 0 用 Frobenius 级数解.. : : 答案是 : : -3 -3 : : y = c1 x sinhx + c2 x coshx : : 可是我算是 : : -2 -3 : : y = c1 x sinx + c2 x cosx : : 有人可以帮我验证一下吗 : 2 2 : x y" + 6xy' + (6 - x )y = 0 : ∞ r+n ∞ r+n-1 ∞ r+n-2 : Let y = ΣCn x , y' = ΣCn(r+n)x , y" = ΣCn(r+n)(r+n-1)x : n=0 n=0 n=0 : 代入得 : ∞ r+n ∞ r+n ∞ r+n ∞ r+n+2 : ΣCn(r+n)(r+n-1)x + Σ6Cn(r+n)x + Σ6Cn x - ΣCn x = 0 : n=0 n=0 n=0 n=0 : 整理後得 : ∞ r+n ∞ r+n : ΣCn[(r+n)(r+n-1)+6(r+n)+6]x - ΣCn-2 x = 0 : n=0 n=2 : 当n=0: : 2 : C0(r +5r+6) = C0(r+2)(r+3) = 0 , 若C0≠0 , 得 r = -3 or -2 : 当n=1: : 2 : C1(r +7r+12) = C1(r+3)(r+4) = 0 , 若C1≠0 , 得 r = -4 or -3 : 二阶ODE的通解应有两个待定系数(C0≠0 , C1≠0) : 故取r解的交集可得r=-3 : 当n≧2:(r=-3代入) 原来我这一题错在这里 如通常题目都只要带到 n=0 但是 有些要带到 n=1 这题就是 我看书上解法式 n=1 那边 取 C1=0 因为加起来要0 但是我刚刚要再看一次书本上的 再和这题比较 这题因为 n=0 和 n=1 都有一解 r=-3 所以取交集吗 因为书上 n=0 n=1 的解 刚好都没重复 所以 C1 = 0 我算这麽多题 都这样 只有这题例外 真的学到东西了 但是还是有一点点不懂 就像上面所说的@@ : 1 1 1 : Cn = --------------------- Cn-2 = ------- Cn-2 = -------- Cn-2 : (n-3)(n-4)+6(n-3)+6 2 n(n-1) : n - n : 1 : = --- C0 : n! : ∞ r+n : 代入 y = ΣCn x 可得 : n=0 : -3 ∞ 1 n ∞ 1 n : y = x ( Σ C1 --- x + Σ C0 --- x ) : n=1,3… n! n=2,4… n! : 答案写这样就行了 : -3 : 要写成 y = x ( C1 sinhx + C0 coshx ) : 也可以 : : 如果考试 不转换成 sinx cosx 之类的 会被扣分吗.. : 主要就是说除非题目明讲只要写前几项就好 : 不然幂级数的系数若有规律就要归纳 : 归纳之後有些就是常见函数的展开式 就可以顺便把他换掉啦 : 不过换不换都是可以的 : : 2. : : 2 2 : : x y'' + x y' - 2y = 0 : : 这题 过程有问题 : : r=-1 : : r= 2 : : -(n+r-1) C : : Cn = ----------------- n-1 : : [(n+r)(n+r-1)-2] : : -r : : C1 = ---------- C0 : : (r+2)(r-1) : : (r+1) : : C2 = ----------------- C0 : : (r+3)(r+2)(r-1) : : -1 (r+1) : : C3 = --------------------- C0 : : (r+4)(r+3)(r-1)(r+1) : : 当用-1 带入 : : C3 (r+1) 我销掉後 答案会不一样.. : : 因为 C3 = 芭拉巴拉 * C2 : : 但是C2 = 0 : 因为r = -1 or 2 : 所以 r= -1 代入算到第 2-(-1) = 3 项 也就是C2时 会等於0 : -(n+r-1) : 事实上在列 Cn = ------------------ Cn-1 时 : [(n+r)(n+r-1)-2] : 有个前提就是分母≠0 : 假如不用除的 而是直接列出来的话 : [(n-1)(n-2)-2]Cn = -(n-2)Cn-1 : 当n=2 : -2 C2 = 0 C1 = 0 : 当n=3 : 0 C3 = C2 = 0 : 表示说C3是任意数 从C3之後就是一个跟前段无关的解 : 再继续代下去就可以得到另一个有待定系数(C3)的解了 : : 所以之後都 = 0 : : 但是销掉 (r+1) 就不会等於0 答案也就不一样 : : 这时候怎麽办..? --

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