作者itsforte ( )
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-脈衝函數
時間Sun Sep 13 09:46:01 2009
> 因此由定義不難證明以下兩個式子：
> <1> lim δ(x) = 0
> x→0-
> <2> lim δ(x) = ∞
> x→0+
這點我覺得怪怪的
Fourier series/transform 收斂的條件是只要函數性質不比片段連續差
範圍在-∞~∞ 就可以確定函數幾乎到處都相等(almost everywhere)
再不連續點x0會有 F[f(x0)] = (f(x0+)+f(x0-))/2
而傅立業的特性: 保持函數的奇偶性
而 F[δ(x)] = 1 是偶函數
=> δ(x)| x→0- = δ(x)| x→0+
> 所以關於原po 問的
> 我想應該是 lim δ(x) = 0
> x→0-
> 而非 δ(0) = 0
> 理由就是我一開始說的
> "數學家從頭到尾避開 x=0 不談"
> 不過
> 你要自己定義 δ(0)=0 or 1 or 0.0001 or....
> 都可以
> 但若自己定義 δ(0) 為多少
> 是否以前所學的 δ(x) 性質也會改變呢 ?
> 答案是不會改變
> 因為 "所有性質都是以 lim 為出發點"
> 也就是 "只考慮 x=0 的鄰域 0<|x|， 而不考慮 x=0 本身"
> 這就好比像 unit step fun. u(x)
> 有些領域會定義:
> u(x) = ┌ 0 if x＜0
> └ 1 if x≧0
> 但有些領域 (例如 訊號與系統) 就會定義:
> u(x) = ┌ 0 if x＜0
> ｜ 1/2 if x=0
> └ 1 if x＞0
由∫δ(x)dx = u(x) 這點亦可導出:
∫-∞~0 δ(x)dx = u(x) | -∞~0 = 0.5-0 = 0.5
∫0~∞ δ(x)dx = u(x) | 0~∞ = 1-0.5 = 0.5
與δ(x)為偶函數的特質不謀而合
--
╔╦══╦═╤══╦══╦═││═││╦═══╦══╦═╦═╤═╤═╗
║╙ ○ ╜ ─┐ │ ╙─││ ││║ ─┐ ║ │ ╙─itsforte╢
╠─ ─┐ ┼┼ ┌──┬ ││ ││╙ ┼┼ ╙┌┬┬┐ ║
║ ││ ││ ││┬┐ │└─│└ ││ ││││ ║
║╓ ││ ╓││ └┴││ └──┼─ ╥
││ ╓││┴┘╓─一詞扶梯╢
╚╩ └─ ╩└─ ═└─┴┘═╧═ │ ═╩└─ ╩└┴──╩══╧═╧╝
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.139.124
1F：→ doom8199:你最後那個推論很怪，積分的上下限是看 "開區間" 09/13 15:50
2F：→ doom8199:而非閉區間，所以那個-∞~0 的 0，你要用 0- 逼近 09/13 15:51
3F：→ doom8199:而不是直接帶 u(0) 下去算 09/13 15:51
4F：→ doom8199:例如我假設 f(x) = ln(x) if x>0 =0 if x<=0 09/13 15:54
5F：→ doom8199:假設要算這個積分: ∫<0,1> 1/x dx= ln(x) | x=<0,1> 09/13 15:55
6F：→ doom8199:若照你那樣帶，不就變成 ln(1)-ln(0) = 0 - 0 = 0 09/13 15:56
7F：→ doom8199:可是 1/x 在 <0,1> 與x軸圍成的面積 明明就是正值 09/13 15:57
8F：→ doom8199:只因為定義 "一個點" 就改變積分值 09/13 15:57
9F：→ itsforte:我想我知道你意思了 只是δ(x)為偶函數 09/13 17:29
10F：→ itsforte:與你舉的例子不太相同 09/13 17:29