作者itsforte ( )
看板Grad-ProbAsk
标题Re: [理工] [工数]-脉冲函数
时间Sun Sep 13 09:46:01 2009
> 因此由定义不难证明以下两个式子：
> <1> lim δ(x) = 0
> x→0-
> <2> lim δ(x) = ∞
> x→0+
这点我觉得怪怪的
Fourier series/transform 收敛的条件是只要函数性质不比片段连续差
范围在-∞~∞ 就可以确定函数几乎到处都相等(almost everywhere)
再不连续点x0会有 F[f(x0)] = (f(x0+)+f(x0-))/2
而傅立业的特性: 保持函数的奇偶性
而 F[δ(x)] = 1 是偶函数
=> δ(x)| x→0- = δ(x)| x→0+
> 所以关於原po 问的
> 我想应该是 lim δ(x) = 0
> x→0-
> 而非 δ(0) = 0
> 理由就是我一开始说的
> "数学家从头到尾避开 x=0 不谈"
> 不过
> 你要自己定义 δ(0)=0 or 1 or 0.0001 or....
> 都可以
> 但若自己定义 δ(0) 为多少
> 是否以前所学的 δ(x) 性质也会改变呢 ?
> 答案是不会改变
> 因为 "所有性质都是以 lim 为出发点"
> 也就是 "只考虑 x=0 的邻域 0<|x|， 而不考虑 x=0 本身"
> 这就好比像 unit step fun. u(x)
> 有些领域会定义:
> u(x) = ┌ 0 if x＜0
> └ 1 if x≧0
> 但有些领域 (例如 讯号与系统) 就会定义:
> u(x) = ┌ 0 if x＜0
> ｜ 1/2 if x=0
> └ 1 if x＞0
由∫δ(x)dx = u(x) 这点亦可导出:
∫-∞~0 δ(x)dx = u(x) | -∞~0 = 0.5-0 = 0.5
∫0~∞ δ(x)dx = u(x) | 0~∞ = 1-0.5 = 0.5
与δ(x)为偶函数的特质不谋而合
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◆ From: 140.113.139.124
1F：→ doom8199:你最後那个推论很怪，积分的上下限是看 "开区间" 09/13 15:50
2F：→ doom8199:而非闭区间，所以那个-∞~0 的 0，你要用 0- 逼近 09/13 15:51
3F：→ doom8199:而不是直接带 u(0) 下去算 09/13 15:51
4F：→ doom8199:例如我假设 f(x) = ln(x) if x>0 =0 if x<=0 09/13 15:54
5F：→ doom8199:假设要算这个积分: ∫<0,1> 1/x dx= ln(x) | x=<0,1> 09/13 15:55
6F：→ doom8199:若照你那样带，不就变成 ln(1)-ln(0) = 0 - 0 = 0 09/13 15:56
7F：→ doom8199:可是 1/x 在 <0,1> 与x轴围成的面积 明明就是正值 09/13 15:57
8F：→ doom8199:只因为定义 "一个点" 就改变积分值 09/13 15:57
9F：→ itsforte:我想我知道你意思了 只是δ(x)为偶函数 09/13 17:29
10F：→ itsforte:与你举的例子不太相同 09/13 17:29