※ 引述《hutiger (我不是神經病)》之銘言： : 請問一下大家 為何 δ(0)=0 : 以 delta的圖形來看 at 0 這一點不是應該是 ∞ ?? --- 回一下好了，順便賺 P 幣XD -- 我個人淺見是 討論 δ(x) 在 x=0 上是沒意義的 　　隨便舉一個例子： 　　f(x) = 1/x 這時會發現，當 x=0 ， f(x) 會沒有定義 　　我們口頭上會說: 當 x=0，　f(x)= 正負無窮大 　　但若把 "口頭用語" 寫成 "數學語言": 　　when x=0 ， f(x) = ±∞ 對數學家來說，是不承認這句話 　　因為他們還有一套更好的描述方法: lim f(x) = ∞ and lim f(x) = -∞ x→0+ x→0- 也就是說 　　當遇到無窮大或是沒定義的 case 數學家是選擇 "避開此case" ，而非"討論它" 由 lim 的定義，我想可以很明顯驗證上面那句話 　　也就是 lim 這工具 　　其實就是專門在避開未定義的點 　　而只討論該點的 "鄰域" ，其變化趨勢為何 --- 有了這概念 來看 δ(x) 是如何被定義出來： u_ε(x) = ┌ 1/ε if 0≦x＜ε └ 0 otherwise δ(x) ≡ lim u_ε(x) ε→0 先看一下 u_ε(x) 這個函數的圖形： y 　　　　　　　 ︿ ｜ ｜ y=1/ε ‧-------。 ｜ ｜ ----------。-------‧---------> x x=0 x=ε 有注意到嗎똊 在 x=0 與 x=ε 上 　　分別是 u_ε(0)=1/ε and u_ε(ε)=0 若你把 x=ε 這個點一直往左邊靠近 (縮小ε) 　　越近越好 ( for all ε>0 ) 只要別讓 ε=0 就可以 ( 0<|x|<ε) 其結果就是δ(x)的圖形 ( for all N>0, such that δ(x)>N ) 　　後面括號其實是套用 lim 的定義 　　只是口語化說明就是用黃色字標示出來的那幾段文字 　　因此由定義不難證明以下兩個式子： <1> lim δ(x) = 0 x→0- <2> lim δ(x) = ∞ x→0+ 　　還有在工數上一定會看到的一個性質： ∞ ∫ δ(x) dx = 1 0 這個式子也能被證明，只要有辦法說明： ∞ ∞ ? ∞ ∫ δ(x) dx = ∫ lim u_ε(x) dx = lim ∫ u_ε(x) dx = lim 1 = 1 0 0 ε→0 ｜ε→0 0 ε→0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↓ why ? 都提到這 　　也順便說明一下為何 δ(x) = u'(x) ( u(x): unit step function ) δ(x) ≡ lim u_ε(x) ε→0 u(x) - u(x-ε) = lim ______________ (let k=x-ε ) ε→0 ε ≡ u'(k) for k= lim (x-ε) = x ε→0 = u'(x) -------- end --------- 所以關於原po 問的 　　我想應該是 lim δ(x) = 0 x→0- 而非 δ(0) = 0 　　理由就是我一開始說的 　　"數學家從頭到尾避開 x=0 不談" 　　不過 　　你要自己定義 δ(0)=0 or 1 or 0.0001 or.... 都可以 　　但若自己定義 δ(0) 為多少 　　是否以前所學的 δ(x) 性質也會改變呢 ? 答案是不會改變 　　因為 "所有性質都是以 lim 為出發點" 也就是 "只考慮 x=0 的鄰域 0<|x|， 而不考慮 x=0 本身" 　　這就好比像 unit step fun. u(x) 有些領域會定義: u(x) = ┌ 0 if x＜0 　　　　　 └ 1 if x≧0 但有些領域 (例如 訊號與系統) 就會定義: u(x) = ┌ 0 if x＜0 ｜ 1/2 if x=0 　　　　　 └ 1 if x＞0 　　原因都是差不多的 　　也就是 u(x) 在 x=0 是不連續點 　　但為何要去定義 u(0)=1/2 ? 我想應該是為了要配合 Fourier series expansion 在不連續點展開的性質： f(t+) + f(t-) FS{f(t)} = _____________ if f(x) is discontinuous at x=t 2 算是題外話～～ 不過我在工程領域上好像還沒看過哪些地方會定義 δ(0)=0 ＝＝a --

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