※ 引述《hutiger (我不是神经病)》之铭言： : 请问一下大家 为何 δ(0)=0 : 以 delta的图形来看 at 0 这一点不是应该是 ∞ ?? --- 回一下好了，顺便赚 P 币XD -- 我个人浅见是 讨论 δ(x) 在 x=0 上是没意义的 　　随便举一个例子： 　　f(x) = 1/x 这时会发现，当 x=0 ， f(x) 会没有定义 　　我们口头上会说: 当 x=0，　f(x)= 正负无穷大 　　但若把 "口头用语" 写成 "数学语言": 　　when x=0 ， f(x) = ±∞ 对数学家来说，是不承认这句话 　　因为他们还有一套更好的描述方法: lim f(x) = ∞ and lim f(x) = -∞ x→0+ x→0- 也就是说 　　当遇到无穷大或是没定义的 case 数学家是选择 "避开此case" ，而非"讨论它" 由 lim 的定义，我想可以很明显验证上面那句话 　　也就是 lim 这工具 　　其实就是专门在避开未定义的点 　　而只讨论该点的 "邻域" ，其变化趋势为何 --- 有了这概念 来看 δ(x) 是如何被定义出来： u_ε(x) = ┌ 1/ε if 0≦x＜ε └ 0 otherwise δ(x) ≡ lim u_ε(x) ε→0 先看一下 u_ε(x) 这个函数的图形： y 　　　　　　　 ︿ ｜ ｜ y=1/ε ‧-------。 ｜ ｜ ----------。-------‧---------> x x=0 x=ε 有注意到吗똊 在 x=0 与 x=ε 上 　　分别是 u_ε(0)=1/ε and u_ε(ε)=0 若你把 x=ε 这个点一直往左边靠近 (缩小ε) 　　越近越好 ( for all ε>0 ) 只要别让 ε=0 就可以 ( 0<|x|<ε) 其结果就是δ(x)的图形 ( for all N>0, such that δ(x)>N ) 　　後面括号其实是套用 lim 的定义 　　只是口语化说明就是用黄色字标示出来的那几段文字 　　因此由定义不难证明以下两个式子： <1> lim δ(x) = 0 x→0- <2> lim δ(x) = ∞ x→0+ 　　还有在工数上一定会看到的一个性质： ∞ ∫ δ(x) dx = 1 0 这个式子也能被证明，只要有办法说明： ∞ ∞ ? ∞ ∫ δ(x) dx = ∫ lim u_ε(x) dx = lim ∫ u_ε(x) dx = lim 1 = 1 0 0 ε→0 ｜ε→0 0 ε→0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ↓ why ? 都提到这 　　也顺便说明一下为何 δ(x) = u'(x) ( u(x): unit step function ) δ(x) ≡ lim u_ε(x) ε→0 u(x) - u(x-ε) = lim ______________ (let k=x-ε ) ε→0 ε ≡ u'(k) for k= lim (x-ε) = x ε→0 = u'(x) -------- end --------- 所以关於原po 问的 　　我想应该是 lim δ(x) = 0 x→0- 而非 δ(0) = 0 　　理由就是我一开始说的 　　"数学家从头到尾避开 x=0 不谈" 　　不过 　　你要自己定义 δ(0)=0 or 1 or 0.0001 or.... 都可以 　　但若自己定义 δ(0) 为多少 　　是否以前所学的 δ(x) 性质也会改变呢 ? 答案是不会改变 　　因为 "所有性质都是以 lim 为出发点" 也就是 "只考虑 x=0 的邻域 0<|x|， 而不考虑 x=0 本身" 　　这就好比像 unit step fun. u(x) 有些领域会定义: u(x) = ┌ 0 if x＜0 　　　　　 └ 1 if x≧0 但有些领域 (例如 讯号与系统) 就会定义: u(x) = ┌ 0 if x＜0 ｜ 1/2 if x=0 　　　　　 └ 1 if x＞0 　　原因都是差不多的 　　也就是 u(x) 在 x=0 是不连续点 　　但为何要去定义 u(0)=1/2 ? 我想应该是为了要配合 Fourier series expansion 在不连续点展开的性质： f(t+) + f(t-) FS{f(t)} = _____________ if f(x) is discontinuous at x=t 2 算是题外话～～ 不过我在工程领域上好像还没看过哪些地方会定义 δ(0)=0 ＝＝a --

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