※ 引述《msu (do my best)》之銘言： : 喻超凡 工程數學上 p707 ex38 : Find the general solution of the differential solution of the differential : equation : y'' + (w^2)y'=r(t) = { t+pi if -pi<t<0 : { -t+pi if 0<t<pi : and r(t+2pi)=r(t), w不為0,1,3... : 請問這一題的特解如何利用逆運算子法求呢? 呵呵~剛剛在看電視0,0 r(t)為週期函數,故用傅立葉級數展開 可化成n次弦波組合,則可用逆運算子求解. y''+w^2y'=r(t) ∞ r(t)=a+sum{Acos(nt)} n=1 1 π π a= ---∫(-t+π)dt=---- π 0 2 2 π 2 4 A= ---∫(-t+π)cosntdt=-----{1-(-1)^n } =----- (n=1,3,5,...) π 0 n^2π n^2π π ∞ 4 (D^2+w^2D)y=r(t)=----+sum { -----cos(nt)} 2 n=1,3,5... n^2π 1 π πt yp1=---------- --- = ---- ( w≠0 ) (D+w^2)D 2 2w^2 ∞ 4 1 yp2=sum { ----- -------- cos(nt)} n=odd n^2π (D+w^2)D ∞ 4 1 =sum { ----- -------- sin(nt)} n=odd n^3π (D+w^2) ∞ 4 2 2 =sum { ----- e^(-w t)∫e^(w t)sin(nt)} n=odd n^3π ∞ 4 1 2 =sum { ----- --------{w sin(nt)-ncos(nt)} } n=odd n^3π w^4+n^2 以上,應該是這樣算吧~ 至於這邊我覺得怪的地方是w看似沒有不行等於1,3,5.... 如果題目改成y'''+w^2y'=r(t)的話 yp2就會變 ∞ 4 1 =sum { ----- -------- sin(nt)} (w≠n ,也就是w≠1,3,5,... n=odd n^3π (w^2-n^2) 這樣才會符合w≠0,1,3,5,... 以上,也可能是我算錯啦XDD -- 星星數不清,星星不會寂寞 我只有一個,怎麼能與星星比 太陽下山了,明天還會再出來 可是妳走了,明天是否還會來... by 昊恩家家-星星數不清 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 123.193.214.165 我覺的是可能出題時原本要出y'''吧XD ※ 編輯: iyenn 來自: 123.193.214.165 (09/02 12:21)