作者hihaka2001 (hihaka)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] [工數]-ODE
時間Sun Aug 30 20:14:25 2009
xy''+2y'-xy=2*exp(x)
我看出y1=exp(x)
用降階法
發現積分積不出來
所以換一個方法
Let y=exp(x)*v
帶入
v''+(2+2/x) v' =2
I=exp( 2 + 2/x )dx
=exp(2x)*x^2
Iv' = S I * 2
= S exp(2x)*x^2 *2
by part
v'= x^2*exp(2x)-x*exp(2x)+exp(2x)/2 +2*c1 / exp(2x)*x^2
積分
v= S [x^2*exp(2x)-x*exp(2x)+exp(2x)/2 +2*c1 / exp(2x)*x^2]dx
then
x - ln x -1/2x +c1* S[ 1/ exp(2x)*x^2]dx
這個積分不太會積 請各位幫幫忙
謝謝
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◆ From: 122.147.16.83
1F：→ doom8199:左邊積分有積錯，不可能會跑出 lnx 這項 OTZ 08/30 20:27
2F：→ doom8199:右邊那個積分無法寫出 closed form ，直接用積分式 08/30 20:28
3F：→ doom8199:表示答案即可 08/30 20:28
4F：→ doom8199:囧，我以為 exp(2x)*x^2 只除右邊的c1，那左式應該沒問題 08/30 20:30
5F：→ hihaka2001:v'那邊的積分嗎 08/30 20:31
6F：→ doom8199:∫e^(-2x)/x^2 dx 這個別理它，沒辦法積～～ 08/30 20:34
7F：→ hihaka2001:可是這題用y=exp(x)*v帶入可得到答案 08/30 20:35
8F：→ hihaka2001:為c1exp(x)/x +c2exp(x)/x +exp(x) 08/30 20:36
9F：→ doom8199:那就要檢查過程了... 08/30 20:37
10F：→ doom8199:很明顯 v''+(2+2/x) v'=2 這行就有問題。若 e^x 是解 08/30 20:42
11F：→ doom8199:那 v=1 也要是解，但帶入後 0=2 矛盾 ＝＝ 08/30 20:42
12F：→ hihaka2001:uv''+(2u'+pu)v'=R(x) 08/30 20:44
13F：→ hihaka2001:v''(2exp(x)/exp(x) + 2/x) v' =2exp(x)/exp(x) 08/30 20:44
14F：推 doom8199:我猜你是代 uv''+(Pu+2u')v' + (u''+Pu'+Qu)v=f(x) 08/30 20:50
15F：→ doom8199:但 u''+Pu'+Qu = f(x) (以此提來說 f(x) = 2e^x/x) 08/30 20:51
16F：→ doom8199:並非 0 XD 08/30 20:52
17F：→ hihaka2001:那請問喔為什麼u''+pu'+qu'=f(x) 08/30 20:54
18F：→ doom8199:因為 u=e^x 是你找到的解，解帶入方程式等號成立～～ 08/30 20:56
19F：→ hihaka2001:exp(x)帶入成立 08/30 20:58
20F：→ hihaka2001:可是愈老的筆記寫說 帶入成立就跳 08/30 20:59
21F：→ hihaka2001:uv''+(2u'+pu)v'=R(x) 08/30 20:59
22F：推 doom8199:我猜那是指 f(x)=0 的 case，f(x)≠0 ，"絕對"不會長這樣 08/30 21:01
23F：→ doom8199:而且你對 uv''+(2u'+pu)v'=R(x) 求解 08/30 21:02
24F：→ doom8199:可能解出 v' = C1*a(x) → v = C1∫a(x) + C2 08/30 21:03
25F：→ doom8199:通解 y = C1u∫a(x) + C2u ，這解也是 linear → f =0 08/30 21:04
26F：→ hihaka2001:sorry我算錯了 = =v''+(2+2/x)v'=2/x 08/30 21:05
27F：→ hihaka2001:可是改過來還是會遇到 v' I =S x^2 exp(2x) * 2/x 08/30 21:07
28F：→ hihaka2001:還是有積分是出現 08/30 21:07
29F：→ hihaka2001:所以你的意思說不同方法可能解出的答案有的是不帶積分 08/30 21:11
30F：推 doom8199:不是，若答案可積，但你算出不可積的答案，表示一定算錯 08/30 21:13
31F：→ doom8199:我知道為何愈老說要直接跳，因為他把解拆 yc + yp 08/30 21:13
32F：→ doom8199:uv''+(2u'+pu)v'=R(x) ---> 專解 yc 08/30 21:14
33F：→ doom8199:假設解出來是 v = C1*a(x) + C2*b(x) ，那通解就是 08/30 21:15
34F：→ doom8199:y = [C1*a(x) + C2*b(x)]*u + u 08/30 21:16
35F：→ hihaka2001:喻老 y=u v 08/30 21:17
36F：→ hihaka2001:你也是愈老的學生喔 08/30 21:17
37F：→ hihaka2001:其實現在問題是在S x^(-2) * exp(2x) dx怎麼積= = 08/30 21:19
38F：→ doom8199:不是 ＝＝... 是的話我剛就直接點出為何要這樣套了XD 08/30 21:19
39F：→ hihaka2001:這題難道BUG了嗎 08/30 21:21
40F：→ doom8199:我剛剛好像有點誤解他跳的意思 ～～ 08/30 21:26
41F：→ doom8199:uv''+(2u'+pu)v'=R(x) ---> 這行要成立，須滿足： 08/30 21:26
42F：→ doom8199:u''+Pu'+Qu = 0 。所以並非你解錯 08/30 21:27
43F：→ doom8199:而是 u=e^x 不是它想要的 08/30 21:27
44F：→ hihaka2001:那拜託你可以想想哪裡錯了~~我太笨了想不到 08/30 21:30
45F：→ doom8199:就是你要先找出 xu''+2u'-xu =0 的一組解 u 08/30 21:41
46F：→ doom8199:才能套 uv''+(2u'+pu)v'=R(x) 去解～～ 08/30 21:41
47F：→ hihaka2001:xu''+2u'-xu =0 (這是哪來的??) 08/30 21:46
48F：→ hihaka2001:董!!可是一般好像不太會檢查ㄟ= = 08/30 21:49
49F：→ doom8199:你先別管公式還啥的， nonlinear 解可以寫成 y=yc + yp 08/30 21:54
50F：→ doom8199:若你找到 yp ，則只剩下 yc 要解 08/30 21:55
51F：→ doom8199:自然就會去解 xy''+2y'-xy = 0 08/30 21:55
52F：→ doom8199:當然題目ㄧ般都會給你一組 yc 的解～～ 08/30 21:57
53F：→ hihaka2001:所以你的意思說xy''+2y'-xy = 0要解出一個解然後他是U 08/30 22:01
54F：→ hihaka2001:然後Y=UV帶入且方程式 08/30 22:02
55F：→ doom8199:對，若您想用 "以解找解" 方式的話XD 08/30 22:05
56F：→ hihaka2001:這題真棒 讓我進一步了解了哈哈不然做太順都沒想奈麼多 08/30 22:15
57F：推 CRAZYAWIND:這題從一開始就錯了吧= = 1+P+Q =0 y1=/=e^x 08/30 22:20
58F：推 CRAZYAWIND:這題用1+P+Q =/= 0 所以 y1 =/= e^x 08/30 22:23
59F：→ hihaka2001:可是exp(x)帶進去和ㄟ 08/30 22:28
60F：→ doom8199:e^x 是 yp ，不是 yc XD 08/30 22:32
61F：推 CRAZYAWIND:D'Alembert 降階法是知道一個 其次解 可以降一階= = 08/30 22:33