作者hihaka2001 (hihaka)
看板Grad-ProbAsk
标题[理工] [工数]-ODE
时间Sun Aug 30 20:14:25 2009
xy''+2y'-xy=2*exp(x)
我看出y1=exp(x)
用降阶法
发现积分积不出来
所以换一个方法
Let y=exp(x)*v
带入
v''+(2+2/x) v' =2
I=exp( 2 + 2/x )dx
=exp(2x)*x^2
Iv' = S I * 2
= S exp(2x)*x^2 *2
by part
v'= x^2*exp(2x)-x*exp(2x)+exp(2x)/2 +2*c1 / exp(2x)*x^2
积分
v= S [x^2*exp(2x)-x*exp(2x)+exp(2x)/2 +2*c1 / exp(2x)*x^2]dx
then
x - ln x -1/2x +c1* S[ 1/ exp(2x)*x^2]dx
这个积分不太会积 请各位帮帮忙
谢谢
--
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◆ From: 122.147.16.83
1F：→ doom8199:左边积分有积错，不可能会跑出 lnx 这项 OTZ 08/30 20:27
2F：→ doom8199:右边那个积分无法写出 closed form ，直接用积分式 08/30 20:28
3F：→ doom8199:表示答案即可 08/30 20:28
4F：→ doom8199:囧，我以为 exp(2x)*x^2 只除右边的c1，那左式应该没问题 08/30 20:30
5F：→ hihaka2001:v'那边的积分吗 08/30 20:31
6F：→ doom8199:∫e^(-2x)/x^2 dx 这个别理它，没办法积～～ 08/30 20:34
7F：→ hihaka2001:可是这题用y=exp(x)*v带入可得到答案 08/30 20:35
8F：→ hihaka2001:为c1exp(x)/x +c2exp(x)/x +exp(x) 08/30 20:36
9F：→ doom8199:那就要检查过程了... 08/30 20:37
10F：→ doom8199:很明显 v''+(2+2/x) v'=2 这行就有问题。若 e^x 是解 08/30 20:42
11F：→ doom8199:那 v=1 也要是解，但带入後 0=2 矛盾 ＝＝ 08/30 20:42
12F：→ hihaka2001:uv''+(2u'+pu)v'=R(x) 08/30 20:44
13F：→ hihaka2001:v''(2exp(x)/exp(x) + 2/x) v' =2exp(x)/exp(x) 08/30 20:44
14F：推 doom8199:我猜你是代 uv''+(Pu+2u')v' + (u''+Pu'+Qu)v=f(x) 08/30 20:50
15F：→ doom8199:但 u''+Pu'+Qu = f(x) (以此提来说 f(x) = 2e^x/x) 08/30 20:51
16F：→ doom8199:并非 0 XD 08/30 20:52
17F：→ hihaka2001:那请问喔为什麽u''+pu'+qu'=f(x) 08/30 20:54
18F：→ doom8199:因为 u=e^x 是你找到的解，解带入方程式等号成立～～ 08/30 20:56
19F：→ hihaka2001:exp(x)带入成立 08/30 20:58
20F：→ hihaka2001:可是愈老的笔记写说 带入成立就跳 08/30 20:59
21F：→ hihaka2001:uv''+(2u'+pu)v'=R(x) 08/30 20:59
22F：推 doom8199:我猜那是指 f(x)=0 的 case，f(x)≠0 ，"绝对"不会长这样 08/30 21:01
23F：→ doom8199:而且你对 uv''+(2u'+pu)v'=R(x) 求解 08/30 21:02
24F：→ doom8199:可能解出 v' = C1*a(x) → v = C1∫a(x) + C2 08/30 21:03
25F：→ doom8199:通解 y = C1u∫a(x) + C2u ，这解也是 linear → f =0 08/30 21:04
26F：→ hihaka2001:sorry我算错了 = =v''+(2+2/x)v'=2/x 08/30 21:05
27F：→ hihaka2001:可是改过来还是会遇到 v' I =S x^2 exp(2x) * 2/x 08/30 21:07
28F：→ hihaka2001:还是有积分是出现 08/30 21:07
29F：→ hihaka2001:所以你的意思说不同方法可能解出的答案有的是不带积分 08/30 21:11
30F：推 doom8199:不是，若答案可积，但你算出不可积的答案，表示一定算错 08/30 21:13
31F：→ doom8199:我知道为何愈老说要直接跳，因为他把解拆 yc + yp 08/30 21:13
32F：→ doom8199:uv''+(2u'+pu)v'=R(x) ---> 专解 yc 08/30 21:14
33F：→ doom8199:假设解出来是 v = C1*a(x) + C2*b(x) ，那通解就是 08/30 21:15
34F：→ doom8199:y = [C1*a(x) + C2*b(x)]*u + u 08/30 21:16
35F：→ hihaka2001:喻老 y=u v 08/30 21:17
36F：→ hihaka2001:你也是愈老的学生喔 08/30 21:17
37F：→ hihaka2001:其实现在问题是在S x^(-2) * exp(2x) dx怎麽积= = 08/30 21:19
38F：→ doom8199:不是 ＝＝... 是的话我刚就直接点出为何要这样套了XD 08/30 21:19
39F：→ hihaka2001:这题难道BUG了吗 08/30 21:21
40F：→ doom8199:我刚刚好像有点误解他跳的意思 ～～ 08/30 21:26
41F：→ doom8199:uv''+(2u'+pu)v'=R(x) ---> 这行要成立，须满足： 08/30 21:26
42F：→ doom8199:u''+Pu'+Qu = 0 。所以并非你解错 08/30 21:27
43F：→ doom8199:而是 u=e^x 不是它想要的 08/30 21:27
44F：→ hihaka2001:那拜托你可以想想哪里错了~~我太笨了想不到 08/30 21:30
45F：→ doom8199:就是你要先找出 xu''+2u'-xu =0 的一组解 u 08/30 21:41
46F：→ doom8199:才能套 uv''+(2u'+pu)v'=R(x) 去解～～ 08/30 21:41
47F：→ hihaka2001:xu''+2u'-xu =0 (这是哪来的??) 08/30 21:46
48F：→ hihaka2001:董!!可是一般好像不太会检查ㄟ= = 08/30 21:49
49F：→ doom8199:你先别管公式还啥的， nonlinear 解可以写成 y=yc + yp 08/30 21:54
50F：→ doom8199:若你找到 yp ，则只剩下 yc 要解 08/30 21:55
51F：→ doom8199:自然就会去解 xy''+2y'-xy = 0 08/30 21:55
52F：→ doom8199:当然题目ㄧ般都会给你一组 yc 的解～～ 08/30 21:57
53F：→ hihaka2001:所以你的意思说xy''+2y'-xy = 0要解出一个解然後他是U 08/30 22:01
54F：→ hihaka2001:然後Y=UV带入且方程式 08/30 22:02
55F：→ doom8199:对，若您想用 "以解找解" 方式的话XD 08/30 22:05
56F：→ hihaka2001:这题真棒 让我进一步了解了哈哈不然做太顺都没想奈麽多 08/30 22:15
57F：推 CRAZYAWIND:这题从一开始就错了吧= = 1+P+Q =0 y1=/=e^x 08/30 22:20
58F：推 CRAZYAWIND:这题用1+P+Q =/= 0 所以 y1 =/= e^x 08/30 22:23
59F：→ hihaka2001:可是exp(x)带进去和ㄟ 08/30 22:28
60F：→ doom8199:e^x 是 yp ，不是 yc XD 08/30 22:32
61F：推 CRAZYAWIND:D'Alembert 降阶法是知道一个 其次解 可以降一阶= = 08/30 22:33