作者BumbEgg (該期待什麼呢?)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] [線代]-對角化
時間Sat Aug 29 22:07:27 2009
Find all eigenvalues and a basis for the corresponding eigenspace for the
／ 3 1 0 ＼ 100
matrix . A =∣ 0 1 0 ∣ Use your answer to compute A B
＼ 4 2 1 ／
T
where B = 〔 2 2 8 〕 .
-----------------------------------------以上為題目
書上解得特徵根為 1 跟 3
／ 0 ＼ ／ -1 ＼
V(1) = ker(A - I) = span( v1 = ∣ 0 ∣ , v2 =∣ 2 ∣ )
＼ 1 ／ ＼ 0 ／
／ 1 ＼
V(3) = ker(A - 3I) = span( v3 = ∣ 0 ∣)
＼ 2 ／
-------到這步都還能理解,以下就想不出所以然-------
因為 B = 2(v1) + (v2) + 3(v3)
100 100
A B = A 〔2(v1) + (v2) + 3(v3)〕
100 100 100
= 2 A (v1) + A (v2) + 3 A (v3)
100 100 100
= 2× 1 (v1) + 1 (v2) +3×3 (v3)
=...
這是書上的解法,部分打出
1.我不了解為何 B 要用, ker 1 跟 3 的 base 去取代 ? 有哪一章節的定理提
到這方法嗎 ? 不太能理解為何要這樣處理
2.另ㄧ個不懂得點是, A = PD(P^-1) , P與D皆可求出,但書上的解法是直接將
A的100次方帶入, 而並不是 (P)乘(D的100次)乘(P的反矩陣) 再乘 B 矩陣..
3. 若想不出書上的解法式不是只能用( A^100 ) = (P)(D^100)(P^-1)處理?
有其他的方法嗎 ? 這題計算還蠻繁複的..
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◆ From: 218.169.223.124
※ 編輯: BumbEgg 來自: 218.169.223.124 (08/29 22:09)
1F：→ ssccg:這個解法其實就是 B = P([2 1 3]^t) 08/29 22:26
2F：→ ssccg:A^100 = P(D^100)(P^-1)，所以(A^100)B = P(D^100)[2 1 3]^t 08/29 22:27
3F：→ ssccg:其中 P = [v1 v2 v3]，觀念都是一樣的 08/29 22:30
4F：→ ssccg:就是把要乘的向量分解成eigenvector的線性組合 08/29 22:31
5F：→ ssccg:利用 (A^n)x = (λ^n)x，然後再把算完後的向量合起來而已 08/29 22:32
ss大 我現在有點糊 我打我現在的想法你幫我看看是不是這樣
你的意思是說 把B 弄成 三個 basis組成的形式
然後再用 特徵根 和 (A^n)x = (λ^n)x 公式的形式表出?
x為v1 v2 v3 各別
但若是B = P([2 1 3]^t)
A^100 B = P(D^100)(P^-1)P([2 1 3]^t)= P(D^100)([2 1 3]^t)
但這樣好像又... A^100 B = P(D^100)([2 1 3]^t)
我照這算出來答案跟書上不ㄧ樣耶..
6F：→ BumbEgg:ss大 我不太懂 (A^100)B = P(D^100)[2 1 3]^t 那B應是 08/29 22:36
7F：→ BumbEgg:P的反矩 乘上B 吧 是嗎? 08/29 22:37
8F：→ ssccg:(A^100)B = P(D^100)(P^-1)P([2 1 3]^t) =P(D^100)[2 1 3]^t 08/29 22:42
9F：→ ssccg:B = P([2 1 3]^t)就是B = 2(v1)+(v2)+3(v3) 08/29 22:43
10F：→ ssccg:你說的是[2 1 3]^t = (P^-1)B，就是B以v1v2v3為basis的座標 08/29 22:47
11F：→ BumbEgg:有點糊.. A^100=P(D^100)(P^-1) 與 B=P[v1 v2 v3]^t 這邊 08/29 22:54
12F：→ BumbEgg:接不太上... 08/29 22:54
※ 編輯: BumbEgg 來自: 218.169.223.124 (08/29 23:03)
13F：→ BumbEgg:不對 是我計算有誤 答案是依樣的 08/29 23:10
14F：→ BumbEgg:我懂了 謝謝你!! 08/29 23:19
15F：推 ieric:推一個~~~釐清了一些觀念@@ 08/29 23:59