作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數] 向量積分
時間Wed Aug 26 21:03:04 2009
※ 引述《hihaka2001 (hihaka)》之銘言：
: 請問大家喔
: 設F=-y i + x j / x^2+y^2
: 試求 積分(路徑C) F * dr 其中C為逆時針的任一簡單封閉曲線
: 請問這題該怎麼下手!!!
: 請大家幫幫忙吧!!!
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觀察 ▽xF = 0 (假設 F為空間向量)
且在 (x,y)=(0,0) 處不連續
討論兩種 case:
<1> curve C 所包的range 沒包含到 (0,0) :
因 F在積分區域D 裡連續、可微，且 ▽xF = 0
所以 F 在 D上為保守場，即
∮ F‧dr = 0
C
<2> curve C 所包的range 有包含到 (0,0) :
令 C' : {(r,θ) | x=rcosθ 、 y=rsinθ 、 0<θ<=2π }
且讓 C' 為依順時針旋轉的封閉圓形曲線
選取 r大小 ，使得 C區域 包含 C'
L1、 L2 : 連接 C與C' 的斜直線曲線 (且讓兩曲線行進軌跡反向)
假設新的封閉曲線 C2 = C + L1 + C' + L2
則會發現 F 在 C2區域裡連續可微 ( 因為避掉點 (x,y)=(0,0) )
所以：
∮ F‧dr = 0
C2
→ ∮ F‧dr + ∫ F‧dr + ∮ F‧dr + ∫ F‧dr = 0 ____(1)
C L1 C' L2
當 distance(L1,L2) → 0 (也就是 L1 與 L2 重疊)
∫ F‧dr = -∫ F‧dr (因為 ▽xF=0 , 只與積分路徑頭尾有關)
L1 L2
(1) 式會變為：
→ ∮ F‧dr + ∮ F‧dr = 0
C C'
→ ∮ F‧dr = -∮ F‧dr
C C'
-ydx + xdy
= -∮ __________
C' x^2 + y^2
0 -rsinθ*(-rsinθdθ) + rcosθ*(rcosθdθ)
= -∫ _________________________________________
2π r^2
0
= -∫ 1 dθ
2π
= 2π
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