作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
标题Re: [理工] [工数] 向量积分
时间Wed Aug 26 21:03:04 2009
※ 引述《hihaka2001 (hihaka)》之铭言：
: 请问大家喔
: 设F=-y i + x j / x^2+y^2
: 试求 积分(路径C) F * dr 其中C为逆时针的任一简单封闭曲线
: 请问这题该怎麽下手!!!
: 请大家帮帮忙吧!!!
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观察 ▽xF = 0 (假设 F为空间向量)
且在 (x,y)=(0,0) 处不连续
讨论两种 case:
<1> curve C 所包的range 没包含到 (0,0) :
因 F在积分区域D 里连续、可微，且 ▽xF = 0
所以 F 在 D上为保守场，即
∮ F‧dr = 0
C
<2> curve C 所包的range 有包含到 (0,0) :
令 C' : {(r,θ) | x=rcosθ 、 y=rsinθ 、 0<θ<=2π }
且让 C' 为依顺时针旋转的封闭圆形曲线
选取 r大小 ，使得 C区域 包含 C'
L1、 L2 : 连接 C与C' 的斜直线曲线 (且让两曲线行进轨迹反向)
假设新的封闭曲线 C2 = C + L1 + C' + L2
则会发现 F 在 C2区域里连续可微 ( 因为避掉点 (x,y)=(0,0) )
所以：
∮ F‧dr = 0
C2
→ ∮ F‧dr + ∫ F‧dr + ∮ F‧dr + ∫ F‧dr = 0 ____(1)
C L1 C' L2
当 distance(L1,L2) → 0 (也就是 L1 与 L2 重叠)
∫ F‧dr = -∫ F‧dr (因为 ▽xF=0 , 只与积分路径头尾有关)
L1 L2
(1) 式会变为：
→ ∮ F‧dr + ∮ F‧dr = 0
C C'
→ ∮ F‧dr = -∮ F‧dr
C C'
-ydx + xdy
= -∮ __________
C' x^2 + y^2
0 -rsinθ*(-rsinθdθ) + rcosθ*(rcosθdθ)
= -∫ _________________________________________
2π r^2
0
= -∫ 1 dθ
2π
= 2π
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