(接在cjcat、chenglap、NDark 幾位強者後面貼文，壓力好大 >"<) 小弟不才，上週在小遊戲板發了一篇自製的HTML5益智小遊戲： 「NP Lab之著色問題」 #1HWDDAEN (Little-Games) 在程式撰寫的時候恰巧有碰到IK控制這一塊， 寫了一篇文章做記錄，跟大家分享，請大家隨意看看～ 網誌好讀版：http://alimencave.blogspot.tw/2013/05/blog-post.html (因為有圖片解說及方程式的關係，推薦切到網頁去看) 二維二骨骼反向動力學解算 　　在NP Lab: Coloring Problem遊戲裡，有兩隻會追蹤玩家滑鼠游標的機械臂。無獨 有偶，這兩隻機械臂正好一個是由FK (Forward Kinematics, 正向動力學)控制，而另一 個是IK (Inversed Kinematics, 反向動力學)控制。 　　正向動力學相對來說簡單很多：由父層級的關節帶動子關節；拿人體來比喻的話就是 我先決定上臂的位置(肩關節的角度)，再決定下臂的位置(肘關節的角度)。在遊戲裡，所 有的滑鼠位置都可以計算出一個特定的角度值，將上臂移到此位置後，再將下臂直直指向 滑鼠，就完成了追蹤。 　　反向動力學則剛好相反：由子層級的關節帶動父關節；對於人體來說比較像是伸手去 拿茶杯，先知道手要往哪擺，再去想下臂、上臂在哪。而這時候，問題就來了：我們要如 何一次求出兩個關節的角度呢？ 　　接下來這篇文章會帶入Two-Bone IK解算的數學定義、簡述一般通用的算法，並介紹 我在NP Lab: Coloring Problem中所用的簡化算法。 一、問題定義 　　給定一個骨骼Bone1與Bone2構成的骨骼鏈，其中Bone1位於原點O，Bone2為Bone1的子 骨骼，且每個骨骼均具有角度θ與固定的長度參數d (如下圖一)。請問：給定一點 T(x,y)，θ1與θ2各要是多少，才能使Bone2的尾端恰好位於T點？ 　　　　　　　　　　　　　　　http://ppt.cc/vOJZ 　　　　　　　　　　　　　　　 ▲ 圖一 二、可解範圍 　　不論是 d1 < d2 (如下圖二)或是 d1 > d2 (圖三)的情況，假如我們使θ1固定為0 (Bone1與x軸重疊)，則此骨骼系統所能夠碰觸到的點只有圖中綠圈線上的所有點而已。此 時旋轉Bone1，我們可以很清楚的看到，此二骨骼系統所能搆到的最遠距離就是d1 + d2， 而在離原點距離小於 | d1 - d2 | 的點會處於死角之中搆不到。 http://ppt.cc/E9EK ▲ 圖二、圖三 　　換言之，T與原點的距離關係必須符合下列式子，否則此骨骼系統無法達到「使Bone2 的尾端恰好位於T點」的目標： ＿ | d1 - d2 | ≦ OT ≦ (d1 + d2) 三、解算 一般用到IK控制的場合中，考慮到關節角度限制、以及為了方便推廣到多骨骼的場合 ，一般會如圖四分解問題： http://ppt.cc/UX_B ▲圖四 　　在這個架構下，求解θ1、θ2，其實就是在解下列的聯立方程： x = d1 cos θ1 + d2 cos(θ1 + θ2) y = d1 sin θ1 + d2 sin(θ1 + θ2) 　　此式雖可化簡，但過程繁瑣，在此不詳列。 　　在NP Lab: Coloring Problem中，由於關節沒有角度限制，且所有滑鼠座標均事先映 射到可解範圍之中，所以我就用了一個相對簡單的算法來作IK解算。 四、利用餘弦定理 ＿ 　　我們把圖一重新畫上輔助線如下圖五，其中d3 = | OT | ，θ1 = (OT與x軸夾角 - a2)，θ2 = (180 - a3)。 http://ppt.cc/LmOM ▲ 圖五 在d1、d2、d3均為已知的情況，整個問題就變成了「已知三邊長，求角度」的形式。 只要利用餘弦定理即可解出： a1 = acos( (d2^2 + d3^2 - d1^2) / 2*d2*d3 ) a2 = acos( (d1^2 + d3^2 - d2^2) / 2*d1*d3 ) a3 = acos( (d1^2 + d2^2 - d3^2) / 2*d1*d2 ) 　　要注意的是，這裡求出來的數值是角度而不是角向量，所以角度的加減要考慮進去。 例如底下圖六就是一個不同的狀況：θ1 = (OT與x軸夾角 + a2) http://ppt.cc/RauW ▲ 圖六 五、小結 　　IK控制在2D遊戲中其實並不多見，主要用在「需要適應環境」的情境中，例如沙羅曼 蛇的觸手魔王就是一個很好的例子。3D環境中IK控制就用得多了，要讓雙腳踏在斜坡上不 會一腳踏空一腳插進地表時可以用來修正膝蓋、股關節的角度，跳躍、攀爬的誤差也可以 依同法修正，用途廣泛。不過......這就留給之後再來研究吧！ XD 　　感謝收看！ -- 「你知道嗎？」納許的囚徒這樣對著他的獄友說：「據說柏拉圖的囚徒，都在看電影」 「是阿是阿，」對方不耐煩地回答：「所以你下次到底要選合作還是背叛？」 ──《林人狂的小書櫃》 http://alimencave.blogspot.tw --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 219.85.211.70 ※ 編輯: Alimen 來自: 219.85.211.70 (05/07 12:07) cjcat你那邊應該是直接進3D領域了吧～ 期待你之後的分享喔～ ^_^b 習慣就好......(問題發言) 感謝板主厚愛XD 另外一篇我稍微整理成適合GameDesign的文章晚點再貼過來 感謝推～ ※ 編輯: Alimen 來自: 219.85.209.161 (05/07 19:55)