(接在cjcat、chenglap、NDark 几位强者後面贴文，压力好大 >"<) 小弟不才，上周在小游戏板发了一篇自制的HTML5益智小游戏： 「NP Lab之着色问题」 #1HWDDAEN (Little-Games) 在程式撰写的时候恰巧有碰到IK控制这一块， 写了一篇文章做记录，跟大家分享，请大家随意看看～ 网志好读版：http://alimencave.blogspot.tw/2013/05/blog-post.html (因为有图片解说及方程式的关系，推荐切到网页去看) 二维二骨骼反向动力学解算 　　在NP Lab: Coloring Problem游戏里，有两只会追踪玩家滑鼠游标的机械臂。无独 有偶，这两只机械臂正好一个是由FK (Forward Kinematics, 正向动力学)控制，而另一 个是IK (Inversed Kinematics, 反向动力学)控制。 　　正向动力学相对来说简单很多：由父层级的关节带动子关节；拿人体来比喻的话就是 我先决定上臂的位置(肩关节的角度)，再决定下臂的位置(肘关节的角度)。在游戏里，所 有的滑鼠位置都可以计算出一个特定的角度值，将上臂移到此位置後，再将下臂直直指向 滑鼠，就完成了追踪。 　　反向动力学则刚好相反：由子层级的关节带动父关节；对於人体来说比较像是伸手去 拿茶杯，先知道手要往哪摆，再去想下臂、上臂在哪。而这时候，问题就来了：我们要如 何一次求出两个关节的角度呢？ 　　接下来这篇文章会带入Two-Bone IK解算的数学定义、简述一般通用的算法，并介绍 我在NP Lab: Coloring Problem中所用的简化算法。 一、问题定义 　　给定一个骨骼Bone1与Bone2构成的骨骼链，其中Bone1位於原点O，Bone2为Bone1的子 骨骼，且每个骨骼均具有角度θ与固定的长度参数d (如下图一)。请问：给定一点 T(x,y)，θ1与θ2各要是多少，才能使Bone2的尾端恰好位於T点？ 　　　　　　　　　　　　　　　http://ppt.cc/vOJZ 　　　　　　　　　　　　　　　 ▲ 图一 二、可解范围 　　不论是 d1 < d2 (如下图二)或是 d1 > d2 (图三)的情况，假如我们使θ1固定为0 (Bone1与x轴重叠)，则此骨骼系统所能够碰触到的点只有图中绿圈线上的所有点而已。此 时旋转Bone1，我们可以很清楚的看到，此二骨骼系统所能构到的最远距离就是d1 + d2， 而在离原点距离小於 | d1 - d2 | 的点会处於死角之中构不到。 http://ppt.cc/E9EK ▲ 图二、图三 　　换言之，T与原点的距离关系必须符合下列式子，否则此骨骼系统无法达到「使Bone2 的尾端恰好位於T点」的目标： ＿ | d1 - d2 | ≦ OT ≦ (d1 + d2) 三、解算 一般用到IK控制的场合中，考虑到关节角度限制、以及为了方便推广到多骨骼的场合 ，一般会如图四分解问题： http://ppt.cc/UX_B ▲图四 　　在这个架构下，求解θ1、θ2，其实就是在解下列的联立方程： x = d1 cos θ1 + d2 cos(θ1 + θ2) y = d1 sin θ1 + d2 sin(θ1 + θ2) 　　此式虽可化简，但过程繁琐，在此不详列。 　　在NP Lab: Coloring Problem中，由於关节没有角度限制，且所有滑鼠座标均事先映 射到可解范围之中，所以我就用了一个相对简单的算法来作IK解算。 四、利用余弦定理 ＿ 　　我们把图一重新画上辅助线如下图五，其中d3 = | OT | ，θ1 = (OT与x轴夹角 - a2)，θ2 = (180 - a3)。 http://ppt.cc/LmOM ▲ 图五 在d1、d2、d3均为已知的情况，整个问题就变成了「已知三边长，求角度」的形式。 只要利用余弦定理即可解出： a1 = acos( (d2^2 + d3^2 - d1^2) / 2*d2*d3 ) a2 = acos( (d1^2 + d3^2 - d2^2) / 2*d1*d3 ) a3 = acos( (d1^2 + d2^2 - d3^2) / 2*d1*d2 ) 　　要注意的是，这里求出来的数值是角度而不是角向量，所以角度的加减要考虑进去。 例如底下图六就是一个不同的状况：θ1 = (OT与x轴夹角 + a2) http://ppt.cc/RauW ▲ 图六 五、小结 　　IK控制在2D游戏中其实并不多见，主要用在「需要适应环境」的情境中，例如沙罗曼 蛇的触手魔王就是一个很好的例子。3D环境中IK控制就用得多了，要让双脚踏在斜坡上不 会一脚踏空一脚插进地表时可以用来修正膝盖、股关节的角度，跳跃、攀爬的误差也可以 依同法修正，用途广泛。不过......这就留给之後再来研究吧！ XD 　　感谢收看！ -- 「你知道吗？」纳许的囚徒这样对着他的狱友说：「据说柏拉图的囚徒，都在看电影」 「是阿是阿，」对方不耐烦地回答：「所以你下次到底要选合作还是背叛？」 ──《林人狂的小书柜》 http://alimencave.blogspot.tw --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 219.85.211.70 ※ 编辑: Alimen 来自: 219.85.211.70 (05/07 12:07) cjcat你那边应该是直接进3D领域了吧～ 期待你之後的分享喔～ ^_^b 习惯就好......(问题发言) 感谢板主厚爱XD 另外一篇我稍微整理成适合GameDesign的文章晚点再贴过来 感谢推～ ※ 编辑: Alimen 来自: 219.85.209.161 (05/07 19:55)