※ 引述《daze (一期一會)》之銘言： : 最近看到了些談 30-year rolling return 的文章 : 突然想到，最差的30年rolling return，到底有多差? : === : 考慮某投資，假設其年報酬率為獨立同分佈，且服從對數常態分佈。 : (這裡假設了分佈的型態，但並不對μ跟σ做估計。) : 問: 該投資未來三十年的累積報酬率，低於過去一百年間的 30-year rolling return : 之最小值的機率有多少? : 這個問題也許有解析解，但我數學不太好，就直接用蒙地卡羅法模擬看看。 : 我模擬的結果是大約 12%。 : === : 這裡的前提，「獨立同分佈+對數常態分佈」是非常強的假設 : 這個模擬的結果，不見得能適用於現實 : 但「過去100年的 30-year rolling return」雖然看似足足有71組數字 : 對於從中得到的一些觀察 : 或許可以再思考看看要給予多少信心 小弟剛好對這頗有興趣 以下是一點拙見： ---------------------------------------------- 1. 為什麼股價是對數常態，而不是常態分佈？ 常態分佈的數值本身沒有上下限 可以說，負無限和正無限都有機率發生(當然機率很小很小) 但這對股價來說是不對的，因為股價都是正值、最小值就是0 用對數常態來描述股價就能解決這個問題 對數常態另一個重要理由就是數學好描述 實際上，真實股價比對數常態分佈有更多極值(大漲大跌)出現 ---------------------------------------------- 2. 報酬是常態分布嗎？ 這其實對了一半 在股價是對數常態分佈的假設下(其實誰是因誰是果有點難說) 對報酬 x 而言 正確解答是他的對數 ln(1+x) 是常態分布 但當x不太大的時候，ln(1+x) 近似 x 所以報酬x不大的話(1%、2%之類的)，可以說報酬近似於常態分布 但報酬很大的時候(-50%)，這個近似就不成立、報酬就不是常態分布 這也可以從報酬有最小值(-100%)看出來報酬不完全是常態分布 ---------------------------------------------- 3. 回到原po的問題 "下一個 30-year rolling return 比前100年的最差的30-year rolling return 還差的機率是多少" 首先，前100年的最差30-year rolling return 我的理解是 前100年當中、任一個連續30年的return 因此如原po所說，有71個不同的連續30年(1-30年，一直到71-100) 如原po所說，這個解析解似乎相當困難 但有個方便粗略估計的方法 就是這100年中，有至少3個不重疊、也就是互相獨立的30年 這問題可以簡化成像是，擲完3次骰子，再擲一次會比前3次都小的機率 (骰子可能不是很好的例子，因為會有相同數值的時候...) 那這個的解是25% (並且這與是什麼分佈完全無關) 這當然是個會高估的粗估，因為還少算過去100年裡的一個10年 然後還有其他71-3=68個有重疊、不完全獨立的30年 如原po所說，更準確的解大概就只能靠蒙地卡羅了 我也得到跟原po一樣的數字、11.9 +/- 0.1 % 與mu和sigma無關 ---------------------------------------------- 以上一點淺見 感謝daze大分享如此有趣的問題 :) --

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