※ 引述《daze (一期一会)》之铭言： : 最近看到了些谈 30-year rolling return 的文章 : 突然想到，最差的30年rolling return，到底有多差? : === : 考虑某投资，假设其年报酬率为独立同分布，且服从对数常态分布。 : (这里假设了分布的型态，但并不对μ跟σ做估计。) : 问: 该投资未来三十年的累积报酬率，低於过去一百年间的 30-year rolling return : 之最小值的机率有多少? : 这个问题也许有解析解，但我数学不太好，就直接用蒙地卡罗法模拟看看。 : 我模拟的结果是大约 12%。 : === : 这里的前提，「独立同分布+对数常态分布」是非常强的假设 : 这个模拟的结果，不见得能适用於现实 : 但「过去100年的 30-year rolling return」虽然看似足足有71组数字 : 对於从中得到的一些观察 : 或许可以再思考看看要给予多少信心 小弟刚好对这颇有兴趣 以下是一点拙见： ---------------------------------------------- 1. 为什麽股价是对数常态，而不是常态分布？ 常态分布的数值本身没有上下限 可以说，负无限和正无限都有机率发生(当然机率很小很小) 但这对股价来说是不对的，因为股价都是正值、最小值就是0 用对数常态来描述股价就能解决这个问题 对数常态另一个重要理由就是数学好描述 实际上，真实股价比对数常态分布有更多极值(大涨大跌)出现 ---------------------------------------------- 2. 报酬是常态分布吗？ 这其实对了一半 在股价是对数常态分布的假设下(其实谁是因谁是果有点难说) 对报酬 x 而言 正确解答是他的对数 ln(1+x) 是常态分布 但当x不太大的时候，ln(1+x) 近似 x 所以报酬x不大的话(1%、2%之类的)，可以说报酬近似於常态分布 但报酬很大的时候(-50%)，这个近似就不成立、报酬就不是常态分布 这也可以从报酬有最小值(-100%)看出来报酬不完全是常态分布 ---------------------------------------------- 3. 回到原po的问题 "下一个 30-year rolling return 比前100年的最差的30-year rolling return 还差的机率是多少" 首先，前100年的最差30-year rolling return 我的理解是 前100年当中、任一个连续30年的return 因此如原po所说，有71个不同的连续30年(1-30年，一直到71-100) 如原po所说，这个解析解似乎相当困难 但有个方便粗略估计的方法 就是这100年中，有至少3个不重叠、也就是互相独立的30年 这问题可以简化成像是，掷完3次骰子，再掷一次会比前3次都小的机率 (骰子可能不是很好的例子，因为会有相同数值的时候...) 那这个的解是25% (并且这与是什麽分布完全无关) 这当然是个会高估的粗估，因为还少算过去100年里的一个10年 然後还有其他71-3=68个有重叠、不完全独立的30年 如原po所说，更准确的解大概就只能靠蒙地卡罗了 我也得到跟原po一样的数字、11.9 +/- 0.1 % 与mu和sigma无关 ---------------------------------------------- 以上一点浅见 感谢daze大分享如此有趣的问题 :) --

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