不知道你是不是修電路的課而交到這個 不過我只能說這個深入研究很複雜 沒有人教的話會跌個滿頭包 (就像我 T_T) 如果你目前還只是電路學的話 建議先知道怎麼用就好了 這其實是個很抽象的東西 我看了很久很久很久才有一些些感覺 很多書都只是概略講過 因為其中包含工數的東西 他們會當作你已經讀過而且融會貫通所以有些東西都帶過 我以我目前所了解的東西盡量簡單講給你聽 @@ 不過還是希望你有基本的向量跟複數平面的概念 如果都懂就ok 至少電路學中的Sinusoids and Phasors(不知每本書一不一樣) 的一開始部分要看的懂才能夠懂我再講什麼 首先是 e^jwt = cos(wt) + jsin(wt) 我只知道以數學來推導是利用泰勒展開式 也就是利用 Power series來導證出來的 至於物理意義 說真的我也說不出個所以然來 只能把我知道的盡量講就是了 QQ 至於為什麼 |e^jwt| = 1 我們假設 e^jwt = cos(wt) + jsin(wt) = e^jθ = cosθ + jsinθ = Z = X + jY 所以 X = cosθ , Y = jsinθ ,θ = wt 我先舉個例 _ _ 如果我們現在有個向量平面 i 軸跟 j 軸 _ _ _ 我們以最基本的向量 A = (1,1) = 1 i + 1 j 來講 _ 可以知道 0到A的距離為 |A| = √(1^2 + 1^2) = √2 因為複數平面是也一個向量平面 _ 也就是說把實數軸當成一單位向量 i _ 虛數軸當成另一單位向量 j 反正就是把他們當作向量來看就對了 所以 |Z| = |X + Yj| = √(X^2 + Y^2) = |e^jθ| = |cosθ + jsinθ| =√[(cosθ)^2 + (sinθ)^2] = 1 其實你在複數平面上畫一個半徑為一的圓 不難看出虛數軸上之 Y 就等於 sinθ 實數軸上之 X 就等於 cosθ 另外特別提醒的是 當你在 e^jθ取實部時，就等於 Re[e^jθ] = cosθ 取虛部時，就等於 Im[e^jθ] = sinθ 另外一點就是 1 x j = j ， j x (1/j) = j x (-j) = 1 所以如果要 Re -> Im 則 Re[e^jθ] = Im[j x e^jθ] = Im[jcosθ - sinθ] = cosθ Im -> Re 則 Im[e^jθ] = Re[(-j) x e^jθ] = Re[-jcosθ + sinθ] = sinθ 待會就會提到為什麼要知道這東西 假設現在有個 Va(t) = cos(wt) 他是屬於實數域 (real domain) 假設今天我們想要把他轉到複數域 (complex domain) 則 Va(t) = cos(wt) = Re[e^jwt] 現在又有個 Vb(t) = sin(wt) 則 Vb(t) = sin(wt) = Im[e^jwt] = Re[(-j) x e^jwt] 假設我們今天想要計算 Vc(t) = cos(wt) + sin(wt)的化簡 則可以利用複數域來化簡 Vc(t) = Re [e^jwt + (-j) x e^jwt] = Re [(1-j) x e^jwt] 因為 (1-j) = |(1-j)| x ∠-(π/4) = √2 x e^j(-π/4) Im 用圖來表示的話 ︿ │ 該點(1,-j)之 │ 1 ──┼─┼──> Re 長度 = √2 │ -j┼ 。(1,-j) 角度 = -π/4 │ 所以我們可以知道 Vc(t) = Re [√2 x e^j(wt-π/4)] = √2 x cos(wt-π/4) 這就是為什麼 cos(wt) + sin(wt) 跟你想像中的 cos(wt) + jsin(wt) 有所不同的原因 因為在我們計算的時候把e^jwt當成是一種工具 他含有cos(wt) + jsin(wt) 這兩種成分 再舉一個例子 假設現在我們要算 (coswt)''' = ? 可是卻從來沒有學過cos的微分是什麼 (假設啦) 我們可以利用 (coswt)''' = Re[(e^jwt)'''] = Re[(-jw^3) x e^jwt] = Re { (-jw^3) x [cos(wt) + jsin(wt)] } = Re { -jw^3 x cos(wt) + w^3 x sin(wt)] } = w^3 x sin(wt) 簡單來講當你微分第一次的時候，就等於乘上一個jw 乘上jw後你會發現 Re[(e^jwt)'] = Re { (jw x [cos(wt) + jsin(wt)] } = Re [ jwcos(wt) -wsin(wt)] 也就是說乘上一個jw cos會變成虛數隱藏起來 sin會變成實數顯現出來 如果是積分則是除以jw，也就是乘上(1/jw) 意思也是一樣 cos 跟 sin 他們互相有這種特別的關係 至於前人怎麼想到的我也不知道....... 不過利用這種關係 就可以將很多複雜的微分積分乘法除法算式 化簡成簡單的乘法除法加法減法 (也就是利用exp的性質，e^a x e^b = e^(a+b) ) 不過記得以上只適合弦波，也就是Fourier的最原始概念 [F(jw)] ( 當然不懂物理意義直接用數學也是可以算出來的 ) 至於如果含有衰減函數 e^σ，那就是Laplace的範圍了 [L(s)，s = e^(jw+σ)] 大概先知道就好 以後如過要修控制系統會講更多 信號與系統也是一樣 電子學頻率響應也會提到一些 另外e^jwt是一個可以當作所有弦波的一種"基底" 這個跟函數的內積以及正交有關係 詳細的基本定理在Sturm-Liouville應該有講 其實這部分我自己還沒看透徹 我只知道 F(jw) = <f(t),e^jwt> 簡單講F(jw) 就是 f(t) 在 e^jwt的投影量 看看就算了 因為我自己也沒把握是否可以講清楚 >< 好累 ~"~ 剩下的部分我也都是似懂非懂 沒辦法講清楚了 以上請大家多多反駁 or 指正 or 其他Fourier的物理意義 因為我想要進步.... QQ 我的目標是寫出人人看的懂得Fourier and Laplace 因為我不是聰明人 但還是希望大家能夠看的起我 orz ※ 引述《ylnosciutn (ylnosciutn)》之銘言： : 這是一個信號相關的問題 : 週期函數可以以三角函數表示 : 例如 V(t) = cos(wt) : 這我很清楚 : 但是也有人以指數函數表示 : 例如 V(t) = exp(jwt) : 利用尤拉公式可以寫成V(t) = cos(wt)+jsin(wt) : 自然界的信號以複數的型式表示 : 究竟要怎麼解釋呢？ : 而且它還有一個特性 絕對值為一 |exp(jwt)| = 1 : 讓我實在搞不清楚它是怎樣的一個信號 : 老師是這樣解釋的 : 他說exp(jwt)就是"cos(wt)+sin(wt)"這個信號 : 只不過為了方便區分sin cos : 所以在sin上加了一個j : 以上解釋我不是很認同 : 例如 : exp(jwt)的絕對值平方永遠為1 : 所以該信號的功率始終是恆定的 : 可是又與cos(wt)+sin(wt)不符合 : 所以這種解釋...... : 如果各位了解我的困惑 : 煩請替我回答一下吧 --

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