不知道你是不是修电路的课而交到这个 不过我只能说这个深入研究很复杂 没有人教的话会跌个满头包 (就像我 T_T) 如果你目前还只是电路学的话 建议先知道怎麽用就好了 这其实是个很抽象的东西 我看了很久很久很久才有一些些感觉 很多书都只是概略讲过 因为其中包含工数的东西 他们会当作你已经读过而且融会贯通所以有些东西都带过 我以我目前所了解的东西尽量简单讲给你听 @@ 不过还是希望你有基本的向量跟复数平面的概念 如果都懂就ok 至少电路学中的Sinusoids and Phasors(不知每本书一不一样) 的一开始部分要看的懂才能够懂我再讲什麽 首先是 e^jwt = cos(wt) + jsin(wt) 我只知道以数学来推导是利用泰勒展开式 也就是利用 Power series来导证出来的 至於物理意义 说真的我也说不出个所以然来 只能把我知道的尽量讲就是了 QQ 至於为什麽 |e^jwt| = 1 我们假设 e^jwt = cos(wt) + jsin(wt) = e^jθ = cosθ + jsinθ = Z = X + jY 所以 X = cosθ , Y = jsinθ ,θ = wt 我先举个例 _ _ 如果我们现在有个向量平面 i 轴跟 j 轴 _ _ _ 我们以最基本的向量 A = (1,1) = 1 i + 1 j 来讲 _ 可以知道 0到A的距离为 |A| = √(1^2 + 1^2) = √2 因为复数平面是也一个向量平面 _ 也就是说把实数轴当成一单位向量 i _ 虚数轴当成另一单位向量 j 反正就是把他们当作向量来看就对了 所以 |Z| = |X + Yj| = √(X^2 + Y^2) = |e^jθ| = |cosθ + jsinθ| =√[(cosθ)^2 + (sinθ)^2] = 1 其实你在复数平面上画一个半径为一的圆 不难看出虚数轴上之 Y 就等於 sinθ 实数轴上之 X 就等於 cosθ 另外特别提醒的是 当你在 e^jθ取实部时，就等於 Re[e^jθ] = cosθ 取虚部时，就等於 Im[e^jθ] = sinθ 另外一点就是 1 x j = j ， j x (1/j) = j x (-j) = 1 所以如果要 Re -> Im 则 Re[e^jθ] = Im[j x e^jθ] = Im[jcosθ - sinθ] = cosθ Im -> Re 则 Im[e^jθ] = Re[(-j) x e^jθ] = Re[-jcosθ + sinθ] = sinθ 待会就会提到为什麽要知道这东西 假设现在有个 Va(t) = cos(wt) 他是属於实数域 (real domain) 假设今天我们想要把他转到复数域 (complex domain) 则 Va(t) = cos(wt) = Re[e^jwt] 现在又有个 Vb(t) = sin(wt) 则 Vb(t) = sin(wt) = Im[e^jwt] = Re[(-j) x e^jwt] 假设我们今天想要计算 Vc(t) = cos(wt) + sin(wt)的化简 则可以利用复数域来化简 Vc(t) = Re [e^jwt + (-j) x e^jwt] = Re [(1-j) x e^jwt] 因为 (1-j) = |(1-j)| x ∠-(π/4) = √2 x e^j(-π/4) Im 用图来表示的话 ︿ │ 该点(1,-j)之 │ 1 ──┼─┼──> Re 长度 = √2 │ -j┼ 。(1,-j) 角度 = -π/4 │ 所以我们可以知道 Vc(t) = Re [√2 x e^j(wt-π/4)] = √2 x cos(wt-π/4) 这就是为什麽 cos(wt) + sin(wt) 跟你想像中的 cos(wt) + jsin(wt) 有所不同的原因 因为在我们计算的时候把e^jwt当成是一种工具 他含有cos(wt) + jsin(wt) 这两种成分 再举一个例子 假设现在我们要算 (coswt)''' = ? 可是却从来没有学过cos的微分是什麽 (假设啦) 我们可以利用 (coswt)''' = Re[(e^jwt)'''] = Re[(-jw^3) x e^jwt] = Re { (-jw^3) x [cos(wt) + jsin(wt)] } = Re { -jw^3 x cos(wt) + w^3 x sin(wt)] } = w^3 x sin(wt) 简单来讲当你微分第一次的时候，就等於乘上一个jw 乘上jw後你会发现 Re[(e^jwt)'] = Re { (jw x [cos(wt) + jsin(wt)] } = Re [ jwcos(wt) -wsin(wt)] 也就是说乘上一个jw cos会变成虚数隐藏起来 sin会变成实数显现出来 如果是积分则是除以jw，也就是乘上(1/jw) 意思也是一样 cos 跟 sin 他们互相有这种特别的关系 至於前人怎麽想到的我也不知道....... 不过利用这种关系 就可以将很多复杂的微分积分乘法除法算式 化简成简单的乘法除法加法减法 (也就是利用exp的性质，e^a x e^b = e^(a+b) ) 不过记得以上只适合弦波，也就是Fourier的最原始概念 [F(jw)] ( 当然不懂物理意义直接用数学也是可以算出来的 ) 至於如果含有衰减函数 e^σ，那就是Laplace的范围了 [L(s)，s = e^(jw+σ)] 大概先知道就好 以後如过要修控制系统会讲更多 信号与系统也是一样 电子学频率响应也会提到一些 另外e^jwt是一个可以当作所有弦波的一种"基底" 这个跟函数的内积以及正交有关系 详细的基本定理在Sturm-Liouville应该有讲 其实这部分我自己还没看透彻 我只知道 F(jw) = <f(t),e^jwt> 简单讲F(jw) 就是 f(t) 在 e^jwt的投影量 看看就算了 因为我自己也没把握是否可以讲清楚 >< 好累 ~"~ 剩下的部分我也都是似懂非懂 没办法讲清楚了 以上请大家多多反驳 or 指正 or 其他Fourier的物理意义 因为我想要进步.... QQ 我的目标是写出人人看的懂得Fourier and Laplace 因为我不是聪明人 但还是希望大家能够看的起我 orz ※ 引述《ylnosciutn (ylnosciutn)》之铭言： : 这是一个信号相关的问题 : 周期函数可以以三角函数表示 : 例如 V(t) = cos(wt) : 这我很清楚 : 但是也有人以指数函数表示 : 例如 V(t) = exp(jwt) : 利用尤拉公式可以写成V(t) = cos(wt)+jsin(wt) : 自然界的信号以复数的型式表示 : 究竟要怎麽解释呢？ : 而且它还有一个特性 绝对值为一 |exp(jwt)| = 1 : 让我实在搞不清楚它是怎样的一个信号 : 老师是这样解释的 : 他说exp(jwt)就是"cos(wt)+sin(wt)"这个信号 : 只不过为了方便区分sin cos : 所以在sin上加了一个j : 以上解释我不是很认同 : 例如 : exp(jwt)的绝对值平方永远为1 : 所以该信号的功率始终是恒定的 : 可是又与cos(wt)+sin(wt)不符合 : 所以这种解释...... : 如果各位了解我的困惑 : 烦请替我回答一下吧 --

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