※ 引述《alwelcome (大太陽)》之銘言： : (2)Kuhn-Tucker Theorem 看了這篇才搞懂題目 http://tinyurl.com/d3wmlt5 : Kuhn-Tucker Theorem 的陳述如下 : max F(x) : st. G(x)<=0 , x>=0 : constraint qualification holds : L(x,λ)=F(x)+λ[c-G(x)] : _ _ _ _ : →Lx(x,λ)<=0 , x>=0 , xLx(x,λ)=0 : _ _ _ : →Lλ(x,λ)>=0 , λ>=0 , xLλ(x,λ)=0 ^^^^^^^^^^^^ 此應為λLλ(x,λ)=0 : 今有一消費者面臨以下的效用極大問題： : max ln(x)+ln(y+6) : x,y : s.t. px+qy<=4 , x,y>=0 : p,q：positive parameters : L=ln(x)+ln(y+6)+λ(4-px-qy) : (1)請寫出Kuhn-Tucker極大化條件 : (2)請說明λ>0 : (3)請說明x>0 Lx= 1/x-pλ,Ly= 1/(y+6)-qλ,Lλ=4-px-qy : →Lx(x,λ)<=0 , x>=0 , xLx(x,λ)=0 1/x-pλ<=0, 1/(y+6)-qλ<=0, x>=0, y>=0, x(1/x-pλ)+y(1/(y+6)-qλ)=0 λ>=1/(px), x若=0則λ無限大, 則 x>0 λ>=1/(q(y+6))又q>0,y>=0,y+6>=6>0,1/(q(y+6))>0,λ>0 : →Lλ(x,λ)>=0 , λ>=0 , λLλ(x,λ)=0 4-px-qy>=0, λ>=0, λ(4-px-qy)=0, 又λ>0 故 (4-px-qy)=0, : (4)請說明y=0，並解出(x,y,λ) 因x>=0,(1/x-pλ)<=0則x(1/x-pλ)<=0 因y>=0,1/(y+6)-qλ<=0則y(1/(y+6)-qλ)<=0 二者皆<=0相加卻=0,故x(1/x-pλ)=y(1/(y+6)-qλ)=0 x=1/(pλ), y(1/(y+6)-qλ)=0則 y=0或y=(1/(qλ)-6) 當y=0, x=4/p, λ=1/4 當y=(1/(qλ)-6), 4=1/λ+1/λ-6q, λ=1/(2+3q), 代回得 y=2/q-3, x=(2+3q)/p y不等於0那個解不知怎否決 --

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