※ 引述《alwelcome (大太阳)》之铭言： : (2)Kuhn-Tucker Theorem 看了这篇才搞懂题目 http://tinyurl.com/d3wmlt5 : Kuhn-Tucker Theorem 的陈述如下 : max F(x) : st. G(x)<=0 , x>=0 : constraint qualification holds : L(x,λ)=F(x)+λ[c-G(x)] : _ _ _ _ : →Lx(x,λ)<=0 , x>=0 , xLx(x,λ)=0 : _ _ _ : →Lλ(x,λ)>=0 , λ>=0 , xLλ(x,λ)=0 ^^^^^^^^^^^^ 此应为λLλ(x,λ)=0 : 今有一消费者面临以下的效用极大问题： : max ln(x)+ln(y+6) : x,y : s.t. px+qy<=4 , x,y>=0 : p,q：positive parameters : L=ln(x)+ln(y+6)+λ(4-px-qy) : (1)请写出Kuhn-Tucker极大化条件 : (2)请说明λ>0 : (3)请说明x>0 Lx= 1/x-pλ,Ly= 1/(y+6)-qλ,Lλ=4-px-qy : →Lx(x,λ)<=0 , x>=0 , xLx(x,λ)=0 1/x-pλ<=0, 1/(y+6)-qλ<=0, x>=0, y>=0, x(1/x-pλ)+y(1/(y+6)-qλ)=0 λ>=1/(px), x若=0则λ无限大, 则 x>0 λ>=1/(q(y+6))又q>0,y>=0,y+6>=6>0,1/(q(y+6))>0,λ>0 : →Lλ(x,λ)>=0 , λ>=0 , λLλ(x,λ)=0 4-px-qy>=0, λ>=0, λ(4-px-qy)=0, 又λ>0 故 (4-px-qy)=0, : (4)请说明y=0，并解出(x,y,λ) 因x>=0,(1/x-pλ)<=0则x(1/x-pλ)<=0 因y>=0,1/(y+6)-qλ<=0则y(1/(y+6)-qλ)<=0 二者皆<=0相加却=0,故x(1/x-pλ)=y(1/(y+6)-qλ)=0 x=1/(pλ), y(1/(y+6)-qλ)=0则 y=0或y=(1/(qλ)-6) 当y=0, x=4/p, λ=1/4 当y=(1/(qλ)-6), 4=1/λ+1/λ-6q, λ=1/(2+3q), 代回得 y=2/q-3, x=(2+3q)/p y不等於0那个解不知怎否决 --

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