作者akai0928 (so what)
看板Economics
標題Re: [請益] 凹性偏好是否一定為邊際效用遞增?
時間Sun Nov 11 19:20:53 2012
※ 引述《abbaabbacdcd (好餓)》之銘言：
: 在準備經濟學考試，讀到無異曲線這邊時有個疑問...
: 凹性偏好的代表性函數是 U=aX^2+bY^2
: 以此函數來看的確是X,Y兩財貨皆為MU遞增
: 我讀的教材也是直接寫凹性偏好是在MU遞增的情況下
: 我的疑問是
: 無異曲線為凹向原點，不是只能代表MRS為遞增嗎? 應該無法保證MU為遞增?
: 之前讀到一般無異曲線形狀(凸向原點)時，教材上卻有說MRS遞減不表示MU遞減
: 難道這不適用於凹性偏好嗎? 若是有反例的話，可以請舉出一個函數作例子嗎?
: 懇請高手賜教!! 也感謝解答
U=aX^2+bY^2
given a>0, b>0
Ux = 2aX > 0 Uy = 2bY > 0
Uxx = 2a > 0 Uyy = 2b > 0
上式表示，兩財貨邊際效用為正，且邊際效用遞增
接著，討論此效用函數MRS 遞增或遞減?
MRS = MUx/MUy = aX/bY
dMRS d aX a 1*Y - X*(dY/dX)
------ = ----(----) = (---) * -----------------
dX dX bY b Y^2
a Y - X*(-aX/bY)
= (---)* -----------------
b Y^2
a Y + aX^2/bY
=(---)* ---------------- > 0
b Y^2
dMRS/dX > 0, MRS 遞增
---------------------------------------------------------------
MRS 遞增與 MU 遞增無必然的相關
證明方式與遞減時相同
let U = U(X,Y)
Ui > 0, i = X, Y
Uii > 0, i = X, Y
Ux[X, Y(X)]
MRSxy = ---------------
Uy[X, Y(X)]
dMRSxy (Uxx + Uxy*dY/dX)*Uy - Ux*(Uyx + Uyy*dY/dX)
--------- = ----------------------------------------------
dX Uy^2
[ Uxx + Uxy*(- Ux/Uy)]*Uy - Ux*[ Uxy + Uyy*(-Ux/Uy)]
= ---------------------------------------------------------
Uy^2
1 Ux Ux
= ------ ( Uxx*Uy - Uxy*----*Uy - UxyUx + Uyy*-----*Ux )
Uy^2 Uy Uy
1
= ------ ( Uxx*Uy^2 - Uxy*UxUy - Uxy*Ux*Uy + UyyUx^2 )
Uy^3
1
= ------ ( UxxUy^2 + UyyUx^2 - 2UxyUxUy) > 0
Uy^3
∵ Uy > 0 ∴ Uy^3 > 0 ----> ( UxxUy^2 + UyyUx^2 - 2UxyUxUy) > 0
-----> UxxUy^2 + UyyUx^2 > 2UxyUxUy
MRS 遞增的條件：UxxUy^2 + UyyUx^2 > 2UxyUxUy
MU 遞增的條件：Uxx > 0, Uyy > 0
亦即：MU 遞增無法保證 MRS 遞增成立
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無心擁有 何嘆失去
無心真正追尋過的擁有 便無須矯情怨失去
若是無悔追尋過 烙在心頭上 又怎能失的去
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◆ From: 114.24.81.1
1F：→ NTUpope:MRSx,y是效用函數U(x,y)=0所定義之隱函數y=f(x)的導函數 11/11 22:49
2F：→ NTUpope:而偏好的凸凹即是指函數y=f(x)的凹凸性 英文的凸函數是凸 11/11 22:52
3F：→ NTUpope:向原點的凸函數 數學上其有二階導函數大於零的性質 也就是 11/11 22:54
4F：→ NTUpope:說一階導函數遞增(斜率漸大) 但是惹 經濟學上一般MRS在負 11/11 22:56
5F：→ NTUpope:的階段就把它掛絕對值取正為其定義 所以為數學上是遞增就 11/11 22:57
6F：→ NTUpope:變成遞減 加上對岸數學界又以及島內少數經濟學者把英文上 11/11 22:59
7F：→ NTUpope:的凸函數翻成凹函數(因為在第一象限的圖形是╰╯ 曰之凹) 11/11 23:00
8F：→ NTUpope:所以筆者看到有關這方面的陳述易有所錯亂 而本篇作者描述 11/11 23:02
9F：→ NTUpope: 發問者 11/11 23:06
10F：→ NTUpope:MU也無明確指MUx或MUy或者兩者 使得筆者更錯亂 11/11 23:10
11F：→ NTUpope:MU是雙變量函數U(x,y)的偏導函數 所以回原發問者 11/11 23:12
12F：→ NTUpope:偏好的凸凹只能確定MRS的情況 你看到的"凹性偏好 MU遞增" 11/11 23:16
13F：→ NTUpope:應該只是在單純描述凹性偏好且MUx遞增的情形 11/11 23:18