作者akai0928 (so what)
看板Economics
标题Re: [请益] 凹性偏好是否一定为边际效用递增?
时间Sun Nov 11 19:20:53 2012
※ 引述《abbaabbacdcd (好饿)》之铭言：
: 在准备经济学考试，读到无异曲线这边时有个疑问...
: 凹性偏好的代表性函数是 U=aX^2+bY^2
: 以此函数来看的确是X,Y两财货皆为MU递增
: 我读的教材也是直接写凹性偏好是在MU递增的情况下
: 我的疑问是
: 无异曲线为凹向原点，不是只能代表MRS为递增吗? 应该无法保证MU为递增?
: 之前读到一般无异曲线形状(凸向原点)时，教材上却有说MRS递减不表示MU递减
: 难道这不适用於凹性偏好吗? 若是有反例的话，可以请举出一个函数作例子吗?
: 恳请高手赐教!! 也感谢解答
U=aX^2+bY^2
given a>0, b>0
Ux = 2aX > 0 Uy = 2bY > 0
Uxx = 2a > 0 Uyy = 2b > 0
上式表示，两财货边际效用为正，且边际效用递增
接着，讨论此效用函数MRS 递增或递减?
MRS = MUx/MUy = aX/bY
dMRS d aX a 1*Y - X*(dY/dX)
------ = ----(----) = (---) * -----------------
dX dX bY b Y^2
a Y - X*(-aX/bY)
= (---)* -----------------
b Y^2
a Y + aX^2/bY
=(---)* ---------------- > 0
b Y^2
dMRS/dX > 0, MRS 递增
---------------------------------------------------------------
MRS 递增与 MU 递增无必然的相关
证明方式与递减时相同
let U = U(X,Y)
Ui > 0, i = X, Y
Uii > 0, i = X, Y
Ux[X, Y(X)]
MRSxy = ---------------
Uy[X, Y(X)]
dMRSxy (Uxx + Uxy*dY/dX)*Uy - Ux*(Uyx + Uyy*dY/dX)
--------- = ----------------------------------------------
dX Uy^2
[ Uxx + Uxy*(- Ux/Uy)]*Uy - Ux*[ Uxy + Uyy*(-Ux/Uy)]
= ---------------------------------------------------------
Uy^2
1 Ux Ux
= ------ ( Uxx*Uy - Uxy*----*Uy - UxyUx + Uyy*-----*Ux )
Uy^2 Uy Uy
1
= ------ ( Uxx*Uy^2 - Uxy*UxUy - Uxy*Ux*Uy + UyyUx^2 )
Uy^3
1
= ------ ( UxxUy^2 + UyyUx^2 - 2UxyUxUy) > 0
Uy^3
∵ Uy > 0 ∴ Uy^3 > 0 ----> ( UxxUy^2 + UyyUx^2 - 2UxyUxUy) > 0
-----> UxxUy^2 + UyyUx^2 > 2UxyUxUy
MRS 递增的条件：UxxUy^2 + UyyUx^2 > 2UxyUxUy
MU 递增的条件：Uxx > 0, Uyy > 0
亦即：MU 递增无法保证 MRS 递增成立
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无心拥有 何叹失去
无心真正追寻过的拥有 便无须矫情怨失去
若是无悔追寻过 烙在心头上 又怎能失的去
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 114.24.81.1
1F：→ NTUpope:MRSx,y是效用函数U(x,y)=0所定义之隐函数y=f(x)的导函数 11/11 22:49
2F：→ NTUpope:而偏好的凸凹即是指函数y=f(x)的凹凸性 英文的凸函数是凸 11/11 22:52
3F：→ NTUpope:向原点的凸函数 数学上其有二阶导函数大於零的性质 也就是 11/11 22:54
4F：→ NTUpope:说一阶导函数递增(斜率渐大) 但是惹 经济学上一般MRS在负 11/11 22:56
5F：→ NTUpope:的阶段就把它挂绝对值取正为其定义 所以为数学上是递增就 11/11 22:57
6F：→ NTUpope:变成递减 加上对岸数学界又以及岛内少数经济学者把英文上 11/11 22:59
7F：→ NTUpope:的凸函数翻成凹函数(因为在第一象限的图形是╰╯ 曰之凹) 11/11 23:00
8F：→ NTUpope:所以笔者看到有关这方面的陈述易有所错乱 而本篇作者描述 11/11 23:02
9F：→ NTUpope: 发问者 11/11 23:06
10F：→ NTUpope:MU也无明确指MUx或MUy或者两者 使得笔者更错乱 11/11 23:10
11F：→ NTUpope:MU是双变量函数U(x,y)的偏导函数 所以回原发问者 11/11 23:12
12F：→ NTUpope:偏好的凸凹只能确定MRS的情况 你看到的"凹性偏好 MU递增" 11/11 23:16
13F：→ NTUpope:应该只是在单纯描述凹性偏好且MUx递增的情形 11/11 23:18