※ 引述《tteerryy (terry)》之銘言： : 設一產品市場有五家廠商，其所面對的需求價格彈性固定在-5 : 若每家廠商邊際成本為50，請求出COURNOT均衡下的LERNER指數 : 我先假設這個市場需求是單純的P=a-bQ 一般而言，題目給定「需求價格彈性固定在-5」 那就不會將需求函數設定為直線方程式 因為由直線方程式導出的需求彈性並非常數 【愈接近縱軸，彈性愈大；直線的中心，彈性為1】 若給定需求彈性為-b A 常見的設定是：Q = -----，A、b為常數 P^b 其中，lnQ = lnA - blnP，故：需求彈性為-b : 雖然題目沒提到但是我想不透若非如此的話怎求解 所謂Cournot均衡，也是一種Nash均衡 表示每一家廠商在既定的條件下，都作了最適選擇 其實，也就是每家廠商都max profit，都以MR=MC作決策 故，由(1) MR=P(1-1/E) = MC，(2) L =（P-MC）/MC 可導出：L = 1/E = 1/5(獨占如此，寡占亦然!?) ---------------------------------------------------- 為避免微分的過程 【若令需求函數為：Q=1/P^5，首先逆需求函數就會很醜】 【當然，你也可以令為：P=1/Q^(1/5)；也沒有比較好算】 因此以下用一般式來處理 【其實，即使需求函數為直線方程式，超過3家廠商時 Cramer's rule不好算，也會建議用一般式】 max profit_i = TRi - TCi = P(Q)*qi - TCi f.o.c. (dP/dQ)(dQ/dqi)qi + P = MCi (dP/dQ)(Q/P)(qi/Q)P = MCi - P (-1/E)Si = (P - MCi)/P = L 由於成本結構相同，故Si=1/5 L = 1/25 上述過程中 由於題目給的需求彈性有「負號」 因此，E = (dQ/dP)(P/Q) 對獨占廠商來說，Si=1 故：L = -1/E = 1/5 : 若有辦法請各位指教 : 再來就是將Q拆成O1到Q5 : P=a-bQ1-bQ2-bQ3-bQ4-bQ5 : MR1=a-2bQ1-bQ2-bQ3-bQ4-bQ5=50 : 得出五組類似方程式後做處理消掉Q2~Q4 : 得出Q1=(a-50)/6b=Q2=Q3=Q4=Q5=q=Q/5 : 由於-5=(dQ/dP)*(P/Q)，將Q改成Q1以後 : 微分方面相同，而5*P/Q=P/Q1 : 所以(dQ1/P)*(P/Q1)=-25 先不管直線方程式的問題，以及為什麼可以將Q直接改成Q1代入 不妨用個別廠商之需求彈性與市場需求彈性的公式套一下 上面這個值合不合理? : 以反彈性定價(這似乎只能在需求函數為一次函數時才能使用?所以我才一開始如此假設) 如果你所謂的反彈性訂價是指：P(1-1/E) = MCi 那麼，這是一般式，不論函數型式為何，都可以通用的 需求函數：P=P(Q)，TR=P(Q)*Q，MR = dTR/dQ = P(1-1/E) 只不過，完競廠商面對水平需求線，E為無窮大，1/E=0，故P = MR 而非完競廠商，面對負斜率需求線，E不為零 : 得出lerner指數為1/25 : 因為第一次算這種題目 : 有些地方不太確定 : 想請各位看下是否哪邊有問題 -- 無心擁有 何嘆失去 無心真正追尋過的擁有 便無須矯情怨失去 若是無悔追尋過 烙在心頭上 又怎能失的去 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.36.17.98 f.o.c. (dP/dQ)(dQ/dqi)qi + P = MCi .....(a) 接來下，我要湊公式： 將(a)式等號左邊的第一項：(dP/dQ)(dQ/dqi)qi 先整理一下，因為 Q = SUM qi = q1 + q2 + ... + q5 所以 dQ/dqi = 1 故：(a)式等號左邊的第一項可以寫為： (dP/dQ)*qi 來湊公式了! 彈性公式，市場需求彈性：E =（dQ/dP）（P/Q） 【因為題目給定的彈性為負值，故上述公式不加負號!】 將(a)式等號左邊的第一項，乘上這個：(Q/P)(P/Q) 這兩項可以消掉，不影響(a)式等號左邊第一項的結構 其中，前面的(Q/P)跟(dP/dQ)湊成市場需求彈性的倒數：1/E 然後，後面的(P/Q)，先拿1/Q來湊市場份額：qi/Q = Si 別忘了，分子還有個P，所以是：P*Si 所以，(a)式等號左邊的第一項，原本是：(dP/dQ)*qi 現在成了：(1/E)*Si*P 綜上，(a)式就可以寫成：(Si/E)P + P = MCi ....(b) 接下來，要將(b)式湊出Lener index，L = (P-MC)/P 將(b)式等號左邊第2個P移項：(Si/E)P = MCi - P 再將等式兩邊同乘一個負號：(-Si/E)P = P - MCi 最後把等號左邊的P除過去：-Si/E = (P-MCi)/P = L 就可以得到原文中的f.o.c第三行：(-1/E)Si = (P - MCi)/P = L 先回顧一下你的原文：所以(dQ1/P)*(P/Q1)=-25 我猜測，你定義：(dQ1/P)*(P/Q1) 這串東西為「個別廠商需求彈性」 【如果這串數學並非個別廠商需求彈性，請告訴我它代表的意義為何】 按你的邏輯，同理可推，第i家廠商的「個別需求彈性」都是-25 可是：E = sum (Si*ei) = S1e1 + S2e2 + ... + S5e5 上式中，E為市場需求彈性，Si為個別廠商的市場份額，ei為個別廠商的需求彈性 依前述推論，Si = 1/5 依你的計算，ei = -25 Si*ei = -5 所以，在你的ei下，市場需求彈性將是：E = sum(Si*ei) = 5*(-5) = -25 可是，題目給定 E = -5 明顯不合! -- 無心擁有 何嘆失去 無心真正追尋過的擁有 便無須矯情怨失去 若是無悔追尋過 烙在心頭上 又怎能失的去 -- ※ 編輯: akai0928 來自: 114.24.87.17 (09/09 18:42)