一、 Payoff ：零和賽局。 策略空間：「蘭」（策略代號為Apple）、「哀」（策略代號為X） Players ：4人（注意莊家其實可以當成是Nature） 以下在不影響一般性的原則下，令莊家（H）選「蘭」！ 順序 ： 1.莊家攤牌。 2.其餘三人在看到莊家牌之後，同時攤牌。 3. if 3:1，則 賽局結束。少數派獲勝。贏家得到 1的報酬，輸家得到 0。 Else 回到Step 1 二、處理只有一回合的賽局： 令Step 3，若非 3:1，則賽局結束，所有人得到很小的正數報酬ε（令ε→0）。 Sol. （一） 在不影響一般性的原則下，令莊家（H）選「蘭」！ 則， 此時對於其他三人而言，選擇「哀」是優勢策略！！ 分析： 在莊家選蘭的情況下，自己也選蘭，蘭至少得到兩票。投票結果「蘭：哀」只能 夠是 4:0、3:1、2:2。 不論是哪一種，投給蘭的報酬保證是 0： 在4:0、2:2 的情況下，得到 ε （＝0） 在3:1 的情況下，得到 0 （Real Zero） ∴投小哀可能是優勢策略。 ∵對其餘三人而言，是對稱的。對稱解存在。 ∴其中一個純粹策略NE為： 在看到莊家投給蘭的情況下，對應策略： 投給蘭的機率 投給哀的機率 報酬 莊家 1 0 1 （100萬元） 其餘三人 0 1 0 （Real Zero） ……1 （注意：在ε→0 時，其餘三人沒有誘因 脫離 此NE） （二）其餘三人瞭解投給哀報酬也保證是0後，也可能投給蘭。 在看到莊家投給蘭的情況下，是否存在如下全部人投蘭的純粹策略NE呢？ 投給蘭的機率 投給哀的機率 報酬 莊家 1 0 ε 其餘三人 1 0 ε 呢？ Ans：此種純粹策略NE不存在 ∵因為其餘三人有人會deviate，改投哀可獨享 1的報酬(100萬元）。 （三）混和策略NE 在看到莊家投給蘭的情況下， 假定存在混和策略NE： 投給蘭的機率 投給哀的機率 期望報酬 莊家 1 0 0 其餘三人 P 1-P 0 （∵存在對稱解） 分析： 由於莊家必投蘭，因此僅需要考慮其他三人的策略。 其他三人的 最後的 贏家 此結果下的 機率 投票狀況 投票結果 贏家報酬 （輸家得0） 蘭：哀＝3:0 4:0 無 ε 蘭：哀＝2:1 3:1 投哀的人 1 蘭：哀＝1:2 2:2 無 ε 蘭：哀＝0:3 1:3 投蘭的人（莊家）0 Max [我的期望報酬]＝P＊[我投蘭的報酬]＋(1-P)＊[我投哀的報酬] ……2 p 其中： 蘭：哀 報酬 ↓ ↓ 我投蘭的報酬 ＝我投蘭且全部恰好四人投蘭（4:0，得到ε） ＋我投蘭且全部恰好三人投蘭（3:1，得到 0） ＋我投蘭且全部恰好兩人投蘭（2:2，得到ε） ＋我投蘭且全部恰好一人投蘭（不可能出現） 2 2 ＝P ＊ε＋2P (1-P)＊0＋(1-P)＊ε 2 2 ＝[(P＋(1-P)]＊ε ＝[1－2P(1-P)]＊ε ……3 ※注意： 莊家 1的機率投蘭，0 的機率投哀； 其他兩人 P的機率投蘭，1-P 機率投哀。 蘭：哀 報酬 ↓ ↓ 我投哀的報酬 ＝我投哀且全部恰好四人投蘭（不可能出現） ＋我投哀且全部恰好三人投蘭（3:1，得到 1） ＋我投哀且全部恰好兩人投蘭（2:2，得到ε） ＋我投哀且全部恰好一人投蘭（1:3，得到 0） 2 2 ＝P ＊1＋2P (1-P)＊ε＋(1-P)＊0 2 ＝P ＋2P(1－P)＊ε ……4 式3 4代回2 2 期望報酬EU＝ P[1－2P(1-P)]＊ε＋(1-P)[P ＋2P(1-P)＊ε] ε→0 2 ＝(1-P)P FOC 2 3P －2P ＝0 =>P＝0 或 2/3 -- 不知道有沒有想錯…… --

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